韦达定理公式 [“韦达定理的应用”教学纪实与评析]

　　（本课选自人教版九年义务教育四年制初级中学教科书《代数》第三册§12.4第二小节.） 　　 　　一、教学目标 　　 　　1.通过本节课的学习，使学生进一步掌握韦达定理，并能巧妙灵活地利用韦达定理解决问题.
　　2.逐步培养学生的变式思维和发散思维.
　　3.激发学生的求知欲，提高其探索数学知识的积极性.培养学生一题多解、一题多变，善于思考问题本质的能力.
　　
　　二、教学重点、难点
　　
　　1.重点：对一类数学知识的拓宽和韦达定理的应用.
　　2.难点：灵活运用所学知识解决学习中遇到的问题.
　　
　　三、教学过程
　　
　　1.复习提问
　　师：同学们，你们学过韦达定理吗？
　　生：（齐答）学过.
　　师：好！哪位同学能写出定理呢？
　　（学生争着举手，热情很高.）
　　生：韦达定理的内容是两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项的系数.
　　师：哪位同学有异议？（部分学生举手.）
　　生：我认为前面同学说得不完整，韦达定理应这样表述：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的两根分
　　师：好！这位同学表达得非常准确，请同学们一定要注意韦达定理只适用于一元二次方程.
　　师：韦达定理是初中代数中一个非常重要的定理.通过前面的学习，你认为韦达定理有哪些应用呢？（稍停片刻，找几名学生口述.）
　　生：利用韦达定理可求值.
　　生：利用韦达定理可构造方程.
　　生：利用韦达定理可进行恒等变形.
　　师：同学们说得都很好.韦达定理除以上应用之外，这节课我们再来学习一下韦达定理在其他类型题上的应用.
　　[评析：通过对韦达定理的复习，能使学生进一步掌握韦达定理的基本内容，并使学生对韦达定理有一个初步的总结和归纳.从而很好地培养学生学习、总结、归纳的数学思想.]
　　2.新课过程
　　例1：已知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b.求：a+b的值.
　　师：我们分4个小组，然后每小组选一个代表谈本组的做法.
　　（给学生5分钟时间，班级很静，给学生营造了很好的学习气氛.）
　　第1组：我们组认为可分别求出a、b的值，然后再求a+b的值.
　　第2组:我组认为：a2-3a+1=b2-3b+1，∴a2-b2-3a+3b
　　=0，(a-b)(a+b-3)=0.∵a≠b，∴a+b-3=0.即：a+b=3.
　　第3组：我组认为：第一组虽然能求出a+b的值，但解方程不好解，特别是一元二次方程的系数比较大时，更不好解.（此时一个学生补充：方程还可能出现无解的情况，这时如何求a、b的值呢？所以我认为第2组的方法比较好.）
　　第4组：（学生迫不及待地发言）第2组的做法虽然很好，但也不是最好的.我组认为本题使用韦达定理会更简捷、省时、省力.
　　师：（马上把话接过来）第4小组的想法很有新意，下面请第4小组的代表到前面给同学板演一下，好不好？
　　生：（齐答）好！（这时学习气氛非常高涨.）
　　第4组：我组通过观察发现两方程虽然未知数不同，但未知数的系数是相同的.又因为a≠b所以我们重新构建一个新的一元二次方程x2-3x+1=0 .由于该方程的判断式Δ=5�0，∴该方程一定有两个不相等的实数根，即 x1、x2.因此，我们就可以把a、b 看作是关于x的一元二次方程x2-3x+1=0 的两个不等实根.根据韦达定理可知：a+b=3.
　　师：同学们赞同第4组的做法吗？
　　生：同意.（齐声答.）
　　[评析：教师提出问题后，以小组形式讨论、研究把“竞争”意识引入课堂，充分体现了学生是学习的主人，教师是引导者、组织者、合作者的新的教学理念.]
　　师：第4组做法很好，很有新意.这种做法正是我们这节课的主题.
　　师：根据第4小组的做法，请同学们思考下面几个问题.
　　 ①若要使用此类办法，其两个方程有何特点？
　　 ②为什么要加上条件a≠b.
　　（给学生5分钟思考，然后讨论.这样让学生带着问题去思考，为下面学习做准备.）
　　生：我认为所给两方程必须都是一元二次方程并且系数相同.
　　生：因为所给方程的“Δ”是大于0的，也就是说方程有两个不等实数根，所以必须有a≠b的条件.
　　师：以上两位同学说得非常好，下面我们看变式练习，以上条件均不变.
　　变式1：已知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b. 求：a2b+ab2的值.（学生根据以上讲解，很快利用韦达定理求出了值.）
　　A. x2+7x+1=0B. x2+7x-1=0
　　C. x2-7x+1=0 D. x2-7x-1=0
　　（学生口答，教师指正.）
　　3.归纳总结
　　（先由学生讨论，教师归纳、总结写在黑板一侧.）
　　①两方程的系数相同，根不同.
　　②在所求的代数式不能直接代入时，应进行恒等变形，然后代入.
　　③不要直接解一元二次方程.
　　[评析：通过上面的总结、讨论，使学生在解决问题时有一种“水到渠成”的感觉，从而突出了本节的重点，为下面的教学分散了难点.]
　　4.引申教学
　　师：前面同学们已经做得很好了！我们知道两个一元二次方程只要满足“形式”即可使用韦达定理，那么如果所给两个一元二次方程的形式不同，是否可以使用韦达定理加以解决呢？请看例题：已知：a2+2a-1=0，b2-2b-1=0且1-ab≠0.求：[]2008的值. 请同学们观察，两个方程的系数是否相同？
　　生：（齐答）不同.
　　师：那么此题是否还可以使用韦达定理解决呢？（这时，班级一片寂静.）
　　 师：好！下面请同学们前后座为一组进行讨论.(给学生5分钟的时间.)
　　生：老师，我认为不可以使用韦达定理，因为一次项的系数不同，这样就无法构造一元二次方程.
　　生：我也同意上面的看法.
　　师：这位同学做得很好，他把方程1做了巧妙的变形，揭开了方程的表面现象，打破了我们的思维模式，形成了很好的发散思维，同学们应向他学习.(这时，班级爆发出一片掌声.)
　　师：刚才那位同学对方程1进行了变形，得出了正确结论，请同学们思考把方程2变形是否可以呢？（学生纷纷举手.）
　　师：这位同学做得也非常好.同学们，通过这道题你学到了什么呢？
　　生：我认为做题不能只看问题的表面现象.
　　生：我认为做题应根据题的不同恒等变形.
　　生：我认为在今后做题时要多思考，拓宽自己的知识面，挖掘问题的本质和内涵.
　　师：这些同学都谈得非常好.下面看练习：
　　师：同学们能自行解决吗？
　　生：可以把方程②两边都除以t2,然后按以上方法去做.
　　生：也可以把方程①两边都除以s2，然后按以上方法去做.
　　[评析：教师在引申教学中，教师不是“教”而是让学生“论”.在教师的引导下 由浅入深、由一般到特殊，从而使学生深深体味到韦达定理的魅力所在，使学生在学习中享受成功的喜悦.很好地调动了学生学习数学的积极性，使他们在处理问题时能不断的探究、发现.]
　　5.总结
　　师：同学们都做得很好.今后我们做题时要善于利用学过的知识，灵活解决学习中所遇到的问题，要做到这一点，必须在完全掌握了基础知识的基础上加以拓宽和延伸.这样才能“揭开庐山真面目”，使我们所选择的方法简捷、明快，从而提高做题的速度和效率.
　　
　　四、评析
　　
　　学生是数学学习的主人.教师是学习的组织者、引导者和合作者. 孙老师在这节课的教学中，以韦达定理的应用为切入点，在整个教学过程中，教师始终以学生为中心，以引导、讨论、研究、总结贯穿整个课堂.在知识的引申探究中，设置了深浅不同的类型题，引导学生在研究、讨论中由浅入深、循序渐进、层层向上.使学生在已有经验与知识的基础上构造了一种新的数学学习模式――韦达定理的巧妙应用.激发学生的探究欲望，也领略了韦达定理的巧妙所在.
　　“数学课程标准”强调学生在学习数学知识和应用数学知识的同时，更应让学生了解客观世界由一般到特殊再由特殊到一般的变化规律.孙老师在教学中很好地突出了应用――总结――再应用――再总结的教学思想.
　　在本节课的教学中孙老师很好地引导了学生如何研究、发现问题，从而揭开“庐山真面目”.使学生在学会如何揭示问题本质同时，也培养了不断探究的学习意识，对学生的身心发展不无裨益.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文