不等式组 方案设计【不等式组型方案设计题例析】

　　方案设计题大多是联系实际生活的开放题，往往以立意活泼、设计新颖、富有创新意识的实际生活应用题为载体，通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用掌握的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决.这就要求从多角度、多层次进行探索，展示思维的灵活性、发散性、创新性.它分为：1.设计图形题；2.设计测量方案题；3.设计最佳方案题.本文就举例对第3种：设计最佳方案题进行分析，此类题目往往要求回答出现的运费最少、利润最少、成本最低、效率最高等，解题时常常与函数、方程、一元一次不等式及不等式组等联系在一起，最主要是与不等式组联系在一起，是现在中考题的热点、难点.
　　解决方案设计这类问题时，首先要弄清题意，根据题意准确地写出表达各种量的代数式，建构恰当的不等式组模型，求出未知数的取值范围，利用未知数的整数解,结合实际问题确定方案设计的种数，从而得出方案.此类题目常常需要用到数形结合和分类讨论等数学思想方法.
　　例 1：（2007年湖南省怀化市）2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.
　　（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来.
　　（2）若搭配一个 种造型的成本是800元，搭配一个 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
　　解：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，依题意，得：
　　80x+50（50-x）≤349040x+90（50-x）≤2950，解这个不等式组，得：
　　x≤33x≥31，∴31≤x≤33.
　　∵x是整数，∴x可取31，32，33.
　　∴可设计三种搭配方案：
　　①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个.
　　②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个.
　　③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.
　　（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：
　　 33×800+17×960=42720（元）.
　　方法二：方案①需成本：
　　31×800+19×960=43040（元）
　　方案②需成本： 32×800+18×960=42880（元）
　　方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）
　　∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元.
　　评析：这是一道关于园艺造型搭配方案的设计问题，由甲、乙两种花卉的盆数一定，A、B两种造型需要的甲、乙两种花卉搭配的盆数一定，利用不等式知识，构建一元一次不等式组模型，进而根据不等式组的解集和造型的个数为正整数，确定具体的A、B两种造型方案种数.
　　例 2：（2007年河北省）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部.三款手机的进价和预售价如下表：
　　（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
　　（2）求出y与x之间的函数关系式；
　　（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元.
　　①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；
　　（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用.）
　　②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部.
　　解：（1）c=60-x-y.
　　（2）由题意，得：
　　900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，
　　整理得 y=2x-50．
　　（3）①由题意，得：
　　P= 1200x+1600y+1300（60-x-y）- 61000-1500，
　　整理得P=500x+500．
　　②购进C型手机部数为：60-x-y =110-3x．根据题意列不等式组，得：
　　x≥82x-50≥8100-3x≥8，解得29≤x≤34．
　　∴ x范围为29≤x≤34，且x为整数．（注：不指出x为整数不扣分.）
　　∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大．
　　∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元．
　　此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部.
　　评析：本例以函数知识为主体，解题中明显地渗透着函数及方程思想，考查了学生构建函数及不等式组模型的能力.注意文字与表格相结合，根据题意将建立的函数表达式转换成恰当的不等式组模式，求出未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数.这类方案设计问题还有一个特点，那就是要在几种确定的方案中，选择最优的方案，其一般解法是根据函数的性质确定最优方案，如果是一次函数可根据它的增减性来确定.如果是二次函数可根据它的最值性质来确定.本例中利润的最大值，都包含有一个合理、恰当地安排购进三款手机发挥其最大效益的问题，真实的情景设计可激发学生探究新知的求知欲.
　　例 3：（2007年辽宁省十二市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）.
　　（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；
　　（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
　　（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济.
　　解：（1）设按优惠方法①购买需用y1元，按优惠方法②购买需用y2元，根据题意得：
　　y1=（x-4)×5+20×4=5x+60，
　　y2=（5x+20×4）×0.9=4.5x+72．
　　（2）设y1＞y2，即5x+60＞4.5x+72，
　　 ∴x＞24．当x＞24整数时，选择优惠方法②．
　　设y1= y2，∴当x=24时，选择优惠方法①、②均可．
　　∴当4≤x≤24整数时，选择优惠方法①．
　　（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12＜24，
　　购买方案一：用优惠方法①购买，需5x+60=5x×12+60=120元；
　　购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包，需要4×20=80元，同时获赠4支水性笔；
　　用优惠方法②购买8支水性笔，需要8×5×90%=36元．
　　共需80+36=116元．显然116＜120.
　　∴最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔.
　　评析：这是一道典型的利用函数确定学生购买方案的问题.其基本思路是根据题目提供的两种优惠方法确定相应的函数表达式，然后利用函数表达式的比较得出与水性笔支数相关的不等式，从而确定水性笔支数的取值范围，再结合未知数取正整数的实际情况，确定购买方案.在解题中特别注意未知数取正整数，这是一个隐含条件.
　　最近几年中考试题中出现了大量的不等式（组）模型下的数学方案设计应用题，为数学应用开辟了一块广阔的天地.
　　（作者单位：贵州省湄潭县石莲中学）
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