向量的坐标表示 选择恰当的向量表示方法

　　平面向量是从“数”“形”两个方面进行建构的. “数形一体”的特性使向量成为了解决问题的利器，但也使其更具复杂性和灵活性. 选择恰当的平面向量表示方法，是灵活解决向量问题的关键.
　　一、平面向量的三种基本表示方法及特点
　　向量有三种不同的表示方法——字母表示法、几何表示法和坐标表示法，使用不同的表示方法，会在解题中体现出不同的几何与代数性质.
　　例1　已知ａ+ｂ＝ａ-ｂ，求向量ａ，ｂ 所成的角.
　　解析一 （字母表示法）：用字母表示法解题时，向量模的运算通常可用向量的平方来解决．
　　由ａ+ｂ2=ａ-ｂ2可得（ａ＋ｂ）２＝（ａ－ｂ）２，即ａ２＋ｂ２＋２ａ?ｂ＝ａ２＋ｂ２－２ａ?ｂ，整理得ａ?ｂ＝０．所以向量a，b所成的角为９０°.
　　解析二 （几何表示法）：如图１所示，ａ＋ｂ，ａ-ｂ是平行四边形的两条对角线.因为对角线长度相等的平行四边形是矩形，所以向量ａ，ｂ所成的角为９０°.
　　解析三 （坐标表示法）：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ａ+ｂ=＝，ａ-ｂ=＝． 由ａ+ｂ=ａ-ｂ可得x1x2+y1y2=0，即ａ?ｂ ＝０，所以向量ａ，ｂ所成的角为９０°.
　　对比以上三种解法可知，字母表示法利用了向量“不是数量，神似数量”的运算法则——如ａ2＝ａ２，a?（b+c）=a?b+a?c等——来解决问题，其优点是不需画图，简捷高效，缺点是只适用于一些特定的问题；几何表示法形象而直观，体现了向量的图形意义，但运用时需要平面几何知识的支持，思维面更宽；坐标表示法机械而简单，能把复杂的思维转化为数值计算，但使用前提是能方便地建立坐标系.
　　二、平面向量表示法的选择策略
　　使用不同的向量表示法会体现出不同的解题效果. 若能选准合适的表示法来解题，就能准确地发挥向量的“数”“形”功效，有效地化解难点，高效地进行运算．
　　（１） 通过分析题目特征来选择向量表示法
　　通常，题设中给出的向量表示法，就是我们解题的首选方法．如例１给出的是字母表示法，因此字母表示法就成了解题的首选．
　　但首选方法并不总是最好的表示法.我们应充分分析题目的其他特征，选择最有利于运算的表示法．比如，解决有关向量模的问题时，如果用数量积运算比较方便，就选用字母表示法；如果利用线段长度来解题比较方便，就选用几何表示法．例１的解法二就是利用线段长度来表示模长的.
　　例２　已知a，b是互相垂直的单位向量，有三个共线向量p，q，r，p=ma+（m+2）b，q=a+mb，r=（ｎ+1）ａ+2（ｍ+1）ｂ，求ｍ，ｎ的值.
　　解析： 因为a，b是互相垂直的单位向量，所以用坐标表示法解题比较方便．设a=（1，0），b=（0，1），则p=（m，m+2），q=（1，m），ｒ=（ｎ+1，2m+2）. 因为平行向量无传递性，所以由p，q，r共线可知p，q，r均不为0，所以有==，解得m=n=2 （m=-1舍去）.
　　（２） 在不断尝试中选择最优表示法
　　解答向量问题时，我们可以观察题设使用的向量表示法是否有助于问题的解决，也可以在解答中尝试不同的表示法. 当解答受阻或运算烦琐时，要及时考虑使用其他表示法.
　　例３　已知ａ＝ｂ＝ａ-ｂ，求向量a，b的夹角.
　　解析： 题设使用了字母表示法，但是用字母表示法求a，b的夹角，运算会比较复杂．由于a，b，a-b的模长相等，便于作图展示，因此我们可以考虑用几何表示法解题．
　　如图２所示，a，b，a-b三个向量围成了一个等边三角形，所以向量a，b的夹角为６０°.
　　例４　一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成６０°角，且F1，F2的大小分别为２和４，求F3的大小.
　　解析： 受物理力学知识的影响，我们一般会想到用几何表示法解答：作出草图，用解三角形等知识求解. 如果使用字母表示法，用数量积运算解决问题，求解就能更直接.
　　因为F1+F2+F3=0，所以F3=-（F1+F2），所以=（Ｆ１+Ｆ２）２＝++2Ｆ１?Ｆ２＝4+16+2?2?4?cos60°=28，由题意可得F3的大小为2.
　　（３） 同时利用几种表示法协同解决向量问题
　　向量的三种表示方法各有优势，也各有局限性.有时把两三种表示法结合起来运用，优势互补，能给解题带来良好的效果．
　　例５　已知向量a，b所成的角为６０°，ａ+ｂ＝4，求ａ+ｂ的最小值.
　　解析： 先用几何表示法转化题设条件：如图３所示，在平行四边形OACB中，∠AOB=60°，＝a，＝b，+=4，求的最小值.再用坐标表示法解题：设=t，=4-t，则=（4-ｔ，0），＝ｔ，ｔ，＝+＝4-ｔ，ｔ，所以＝＝. 当ｔ＝2时，有最小值2，即ａ+ｂ的最小值为2.
　　总之，寻找解决向量问题的思路，往往是从选择恰当的向量表示方法开始的，这也是活用向量“数”“形”双重特性的重要策略.
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