[例谈概念教学中的层次性]产品整体概念的五个层次
摘 要：本文针对数学概念的教学展开了研究，研究认为层次性教学有利于让学生掌握知识。 关键词：数学 概念 层次性 数学概念是进行判断、推理和建立定理的基础，清晰的概念是正确思维的前提，数学概念教学是数学教学的重要组成部分。由于数学概念本身的复杂性、抽象性，理解和掌握时可将其分解为多个层次，先一层一层地认识，理解每层次表达的含义，然后再分析和综合各层次间的内存联系，使其形成完整的易于掌握的知识。文章将“理解”进一步分为直接性理解、解释性理解、推断性理解、创造性理解四个层次，无疑对我们很有启发。
一般说来，理解一个数学概念也可为分以下几个层次：
（1）直接性理解。即对数学语言、称号的表面理解，能用语言准确地表述数学概念，能识别概念的语言描述中的错误或不妥之处，能直接找出肯定实例或否定的反例等。
（2）解释性理解。即对数学概念内存联系的理解，能理顺概念间的上位、下位、同位关系，深刻理解要领的内涵和外延，能把握概念产生的过程，提示概念间的联系等。
（3）推断性理解。在充分理解数学概念的基础上，能对有关数学对象作出个人推断。
（4）创造性理解。能摆脱有关材料的束缚，对数学概念提出创造性的理解。
进行“分层次的概念教学”能引导和帮助学生克服思维障碍，推动思维多层面逐步深入地发展，使知识和能力不断升华。在概念教学中，我们可根据知识结构的繁简和理解程度的难易，把包含在数学概念内的复杂和隐蔽的内涵层层剥离，进行多层面的展开，从而使教学由表及里、深入清晰地揭示数学概念的本质，提高学生的思维素质。
一、重要数学概念的发生过程及其层次性
一个数学概念的建立和形成，必须通过学生的亲身体验、主动建构。为此，从引进新概念开始就要创造启发式的教学环境，揭示概念的本质属性，并用简单的文字加以表述，再对概念进行结构分析和概念的应用，形成一个生动的概念发生的过程。
例1“异面直线”的概念。
教材中定义为“不同在任何一个平面内的两条直线”。新课伊始若直接给出这种定义，学生理解难度大。我们在教学改用与教材定义等价的叙述（更换定义形式）：首先通过观察实物或模型，引导学生将空间中既不平行又不相交的两条直线定义为异面直线（外延定义）；然后根据公理3的推论2、3，得出a、b为异面直线，通过逐次抽象，最后概括成教材中的定义。这样，学生就不会认为难以理解了。
例2“异面直线所成角”的概念。
我们可按以下线索将整个课堂活动分为四个组块。
组块Ⅰ：展示概念产生的背景，从进一步研究异面直线的相对位置的需要出发，揭示异面直线所成角出现的背景，明确新课题研究的必要性，触发学生积极的思维活动的展开。
组块Ⅱ：创设得到概念的求知情境。①复习平面几何中如何用数学量来刻划平行直线和相交直线间的相对位置；②从旧知识的复习逐渐迁移到对新问题的解决，利用化归的思想将空间问题转化为平面问题（将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角），从而提高学生的数学素养，优化学生的认知结构。
组块Ⅲ：概念的获得。①由学生概括得出新概念――异面直线所成角的定义；②对得到的概念进行解剖，使学生看到抽象的数学术语和符号与现实存在的具体事物和现象之间的联系，了解整个定义的结构，培养学生思维的严密性。
组块Ⅳ：概念的应用。在运用中巩固和深化概念，加深对概念的内涵与外延的进一步理解。
二、重视概念理解和掌握过程中的层次性
一个数学概念的建立和形成需要一个过程，需分层次递进，低层次的理解是高层次理解的基础，各层次之间最好不好越级，任何急功近利的想法或做法都是不可取的，一个数学概念的理解和掌握是一个螺旋式上升的过程。
例3对“复数的模”的理解。
首先可通过观察，作出表层认识：
复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ)进行关联；
在以上表层理解的基础上，通过进一步扩展思维，可使理解进入更深的本质的层次。
层次Ⅲ（推断性和创造性理解）；复数的模的概念是实数的绝对值的概念从一维空间到二维空间的推广。
至此，通过这样多层次的概念的展开，逐步揭示了“复数的模”的本质，达到了全面而深入地理解概念之目的。
学习概念的重要目的之一是为了应用，应用的结果又会加深对概念理解，从而形成一个良好的认知结构。运用概念时，我们在用典型的例子从正面加深对概念的理解、巩固以外，还针对某些概念的定义中某些关键字眼不易被学生所理解，或容易被忽视；某些概念的条件比较多，学生常顾此失彼，不易全面掌握；某些概念与它的邻近概念相似，不易区别；等等来加深学生对概念的内涵与外延的理解。
三、重视概念的系统化、整体化及其层次性的把握
有些概念的理解一般不是一次可以完成的，教师应有计划地使学生不断丰富和加深理解。可以通过单元复习或阶段复习的方式使所学有关概念系统化和整体化，可用类比启发式和归纳启发式。
例4关于“角”的概念的加深与系统化。
（1）平面角：①从一点出发的两条射线所组成的图形（静态的定义）；②以一条射线的端点原点旋转所成的图形（顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角，不作任何旋转为零角）（动态的定义）。
（2）异面直线所成的角：在空间任意取一点，分别引两条异面直线的平行线所成的锐角或直角叫做两条异面直线所成的角。
（3）直线与平面所成的角：若直线在平面内或直线与平面平行，规定它们所成的角为0°；若直线与平面垂直，规定它们所成的角为90°；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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