概率统计公式大全_高中概率统计教学若干问题探讨

　　 [摘要] 在信息技术和知识经济时代,概率统计学从随机的角度来审视世界,帮助人们在面对各种偶然情况或大量不规则数据时,作出更为正确合理的决策.在教学中,使学生掌握好概率统计的基本观点、思想和方法,更好地解决自然环境、现实社会中的实际问题.
　　[关键词] 概率教学 随机思想 概率原理
　　
　　一、概率统计的背景与教学
　　概率统计是研究大量随机现象以揭示其统计规律性的一门科学,它体现了确定性数学到随机性数学的转变。由于概率统计的知识内容和研究对象本身有着丰富的实际背景,来源于人们所熟悉的现实社会和自然现象,这为学生认识和了解数学的来源与背景、感受数学的价值和作用、形成与提高解决实际问题的能力提供了一条有效的途径。因此,在教学中,教师可选择一些现实情景中有代表性的事例,通过相应的数据分析,解释相关概念、原理的实际意义,运用相应的概率方法以解决相应的实际问题,使学生认识到概率统计思想方法在社会生活及各学科领域中有着广泛的应用,从而提高其学习兴趣。
　　二、概率统计教学思考
　　1.关于教材中的概率概念
　　概率统计是研究随机现象统计规律的学科,因为中学生理解概率的定义还比较困难,所以应从学生熟悉的生活经验引入概率定义,以描述为主,“对有关术语不要求进行严格表述”,通过实例丰富学生对概率统计的认识,领会其思想方法。
　　中学教材概率的定义大致有以下两种:
　　第一个定义:在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率mn总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作p(A)。
　　第二个定义:一次试验连同可能出现的每一个结果称为一个基本事件,如果一次试验由n个基本事件组成,并且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是1n。如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率p(A)=mn。
　　2.对概率概念教学的想法
　　在历史上,概率概念的形成有一个漫长的过程,针对高中学生的思维特点,鉴于学生在此之前没有系统学过这方面的知识,结合学生在现实生活中对可能性大小描述的体会,建议在教学中补充第三种说法:即主观式定义。
　　概率概念的教学,可从以下三个方面加以定义说明,即概率的古典式定义、频率式定义和主观式定义。古典定义也称理论定义,是一种构造性的定义方式,它将一个事件的概率定义为利于该事件发生的所有结果的数目与所有等可能发生的结果的总数的比值,无需试验就可以从理论上计算出的概率。频率定义也称经验定义,它将概率定义为某一事件在无限次或接近无限次的重复试验中发生的频率所接近的常数,这是一种建立在实际试验结果基础之上的定义。主观定义也称直觉定义,它是对随机现象可能性大小的一种个人的估计,是对客观事物的一种主观描述,随着新信息的出现(如实际试验后的结果),将调整最初基于经验或直觉之上的估计。上述三种定义都各有长处,古典定义简单明了,在样本空间每一结果都是等可能发生的条件下,可以预测概率;频率定义不受每一结果都是等可能发生这一条件的限制,可用于那些不能从理论上解决的问题;主观直觉是教学的一个很好的出发点,通过教学能够将学生的自我经验与概率理论联系起来,培养学生良好的直觉。这三种方式既符合高中学生的认知特点,学生易于接受,又具有内在的统一性,即可以用大量的重复试验加以验证,并为以后的公理化定义的学习奠定良好的基础。
　　下面从这三种定义的角度分析学生理解概率产生的错误观念的原因及教学中应采取的措施。
　　(1)理论定义――产生等可能性偏见
　　认为任何随机事件是等可能发生的,同时抛掷两骰子,比较抛出一个5一个6和抛出两个6的可能性的大小,在调查中,学生普遍认为它们可能性一样大,而且后来这种错误在用古典概型公式计算概率时会经常出现,在教学中要特别注意强调要求学生真正找出等可能的基本事件。
　　(2)经验的定义――产生预言结果的错误
　　有学生在使用“机会”、“可能性大小”、“概率”这些概念时,并不把它们与重复试验联系起来,而是将概率很大等同于一定会发生,概率很小等同于一定不会发生,50%概率等同于“不知道”或“不能决定”,认为概率是用来决定一个随机事件是否发生,而不是用来度量此事发生的频繁程度。这就要求老师在进入概率的计算之前要注意让学生建立随机思想。随机性是概率中的一个基本观念,它包括两个方面:单一事件的不确定性和不可预见性,事件在经历大数次重复试验中表现出规律性。学生在现实生活经验的基础上,比较容易接受事件发生具有不确定性和不可预见性,但仅靠平时一些零散的生活经验,学生往往难以理解不确定性背后会有规律可循,难以想象为何重复试验有利于发现规律,且重复大数次比重复小数次获得规律更可靠。在教学中老师要尽量阐明“必然寓于偶然之中”的道理,即频率的稳定性,频率趋于概率。而不能仅凭一次事件的结果判断准确与否。
　　(3)主观的定义――产生代表性的错误
　　一个人在两个月内找到新工作的机会是多大?一家公司在项目投标时中标的可能性是多少?现实生活中有很多类似的机会问题是既不能用理论概率又不能用经验概率来回答的。在这种情形下,人们往往根据己有的一些信息先给出一个主观的或直觉的估计,然后再根据获得的新信息进行调整。但是如果受到代表性一类错误概念的指引,那么主观估计出的机会可能与实际差得很远,如在一个有六个孩子的家庭中,学生绝大多数认为BGGBGB (B代表男孩,G代表女孩)这一出生顺序发生的可能性比BBBBGB和BBBGGG要大,GGGGGG最小,在教学中要求学生对问题作理智分析,但只对学生进行概率概念的讲解不足以让他们克服代表性方法的强大影响,实验的以活动为主的课堂环境对克服学生对代表性方法的依赖性更为有效。鼓励学生在自己理解的基础上,大胆想象、提出数学问题,让其置身于现实问题情境之中,充分体验数学就在我们身边。
　　3.关于概率教学的重点
　　教学重点是展现概率统计的思想方法。
　　有的数学教育家指出,大部分数学书本知识学生在今后一生中都不会直接用到,要用的是合理的基本数学思想方法和分析解决问题的能力(这大概就是数学素质)。因此,我们应充分展现概率统计的思想及过程,“中学的概率统计应使学生真正感受到确定性和随机性数学思维方法的本质区别。”
　　教材中概率内容放在排列、组合、二项式定理这一章的最后,似乎概率内容是排列组合内容的一个应用。概率的古典定义,提供了利用排列组合方法求概率的方法。但是,从思维方式上说,它与排列组合是有很大区别的。利用等可能情况的定义,利用排列组合求出的有限元素的有关问题的概率,可以探索一般概率问题的互斥、对立、独立等公式,但不是概率问题的本质。概率内容的重点应该在三个方面:
　　1.建立随机思想及概率的概念
　　2.建立互斥、对立、独立、独立重复试验的概念
　　3.建立概率的加、乘原理
　　实际上,数学上的讨论,排列组合内容前的加法原理、乘法原理,应用十分广泛。比如:己知某地“今天下雨明天也下雨”的概率是p,“今天不下雨明天也不下雨”的概率是q,问“今天下雨,后天也下雨”的概率是多少?
　　这一问题不好用排列组合的方法去做,但可以讨论如下:
　　“今天下雨明天也下雨”与“今天下雨明天不下雨”是两个对立事件。“明天下雨后天继续下雨”与“今天下雨明天也下雨”又是独立事件,因此,所求概率应该是P=p•p+(1一p)(1一q)
　　这中间用到了对立事件的概率。
　　又如,课本中用排列、组合的方法说明抽签先后的概率相同问题,也可以另辟蹊径。
　　又比如,5个人抽5张票中的一张奖券,怎样说明第二个人与第一个人抽到奖券的概率相同?
　　甲抽的概率当然是15
　　甲抽的结果有两种。一种是抽到奖券,概率是15;一种是抽不到奖券,概率是45。
　　乙抽的时候,有两种互斥的情况:甲抽到奖券,乙抽不到;甲抽不到,乙抽到或抽不到。
　　因此,乙抽到奖券的概率P=15×0+45×14=15;
　　还可以研究丙,他抽到奖券的概率是P=15×0×0+45×14×0+45×34×13=15。
　　当然,也有不少问题用到了排列组合方法。但总的来说,概率问题的研究中常用到排列组合方法,但远远不是全部,重要的是随机思想的建立。
　　
　　参考文献:
　　[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[M].北京:北京师范大学出版社,2001.
　　[2]《国家高中数学课程标准》制定组.《国家高中数学课程标准》的框架设想[J].数学教育学报,2002,11(2).
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