三角不等式 一个三角不等式的加强
在很多高中数学竞赛资料上能看到这样的一个不等式：在△ABC中，A、B、C是三角形中的三个内角，则有 0＜�sin�A+�sin�B+�sin�C≤323，笔者经过探究后可以发现在不同形状的三角形中，这个结论可以进一步加强．�
命题：在△ABC中，0＜�sin�A+�sin�B+�sin�C≤323，当且仅当A=B=C时等号成立．�
证明：不等式左边显然．�
下证右边：�
�sin�A+�sin�B+�sin�C=2�sin�A+B2�cos�A-B2+2�sin�A+B2�cos�A+B2=�
2�sin�A+B2(�cos�A-B2+�cos�A+B2)≤�
2�sin�A+B2(1+�cos�A+B2).�
因为 ［2�sin�A+B2(1+�cos�A+B2)］�2=�
4(1-�cos��2A+B2)(1+�cos�A+B2)�2=�
43(3-3�cos�A+B2)(1+�cos�A+B2)・(1+�
�cos�A+B2)(1+�cos�A+B2)≤
43(3-3�cos�A+B2+1+�cos�A+B2+1+�cos�A+B2+1+�cos�A+B24)�4=�274.�
所以 2�sin�A+B2(1+�cos�A+B2)≤323．�
即： �sin�A+�sin�B+�sin�C≤323等号在A=B=C=π3时取到．�
加强命题1：在锐角△ABC中，则有：�
2＜�sin�A+�sin�B+�sin�C≤323．�
证明:等式右边由命题即可得到，关键在于证明左边．�
先证明两个引理．�
引理1：在△ABC中，则有 �cos�A+�cos�B+�cos�C＞1.�
证明：�cos�A+�cos�B+�cos�C=�
2�cos�A+B2�cos�A-B2+1-2�cos��2A+B2=�
1+2�cos�A+B2(�cos�A-B2-�cos�A+B2)=�
1+4�sin�A2�sin�B2�sin�C2＞1.�
引理2：在锐角△ABC中，�sin�A+�sin�B+�sin�C＞1+�cos�A+�cos�B+�cos�C.�
证明：1+�cos�A+�cos�B+�cos�C-(�sin�A+�sin�B+�sin�C)=�
2�cos��2A2+2�cos�B+C2�cos�B-C2-�
2�sin�A2�cos�A2-
2�sin�B+C2�cos�B-C2=�
2�cos�A2(�cos�A2-�sin�A2)+�
2�cos�B-C2(�cos�B+C2-�sin�B+C2)=�
2�cos�A2(�cos�A2-�sin�A2)+�
2�cos�B-C2(�sin�A2-�cos�A2)=�
2(�cos�A2-�sin�A2)(�cos�A2-�cos�B-C2)=�
-4(�cos�A2-�sin�A2)�sin�A+B-C2�sin�A+C-B2�
因为 A，B，C∈(0,π2)，�
所以 �cos�A2＞�sin�A2, �sin�A+B-C2＞0, �
�sin�A+C-B2＞0.�
所以 1+�cos�A+�cos�B+�cos�C-(�sin�A+�sin�B+�sin�C)＜0.�
所以 �sin�A+�sin�B+�sin�C＞1+�cos�A+�cos�B+�cos�C.�
由引理1、2得等式左边：�sin�A+�sin�B+�sin�C＞2，证毕．�
加强命题2：在直角△ABC中，则有 �
2＜�sin�A+�sin�B+�sin�C≤1+2．�
证明：不妨设角C=90°，则�
�sin�A+�sin�B+�sin�C=1+�sin�A+�sin�B=1+�sin�A+�cos�A=1+2�sin�(A+π4),�
因为 0＜A＜π2，�
所以 π4＜A+π4＜3π4,�
所以 22＜�sin�(A+π4)≤1．�
故 2＜�sin�A+�sin�B+�sin�C≤1+2．�
加强命题3：在钝角△ABC中，则有 �
0＜�sin�A+�sin�B+�sin�C＜1+2．�
证明：不妨设角C为钝角，则�
0＜�sin�A+�sin�B+�sin�C=�
2�sin�A+B2�cos�A-B2+�sin�C＜2�sin�A+B2+�sin�C=2�cos�C2+�sin�C.�
因为 π2＜C＜π，所以 π4＜C2＜π2，�
所以 2�cos�C2+�sin�C＜2×22+1=1+2．�
故 0＜�sin�A+�sin�B+�sin�C＜1+2．�
参考文献�
O.Bottema等著．单�译．几何不等式．北京大学出版社，1991
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