【同底数幂的除法】同底数幂的除法的法则

同底数幂的除法

【教学目标】：

1、使学生经历同底数幂的除法性质的探索过程。

2、使学生掌握同底数幂的除法性质，会用同底数幂除法法则进行计算。

【重点难点】：

1、难点：同底数幂除法法则及应用

2、重点：同底数幂的除法法则的概括。

【教学过程】：

一、 引入

现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。如果设原来每天能装配x 台机器，那么不难列出方程：

630-6+=3 x 2x

这个方程左边的式子已不再是整式，这就涉及到分式与分式方程的问题.

二、 探索同底数幂除法法则

1、 们知道同底数幂的乘法法则：a ⋅a =a m n m +n ，那么同底数幂怎么相除呢？

2、试一试

用你熟悉的方法计算：

（1）25÷22=___________；（2）107÷103＝___________；（3）a 7÷a 3=___________（a ≠0）

3、概 括

由上面的计算，我们发现:

25÷22=23= ; 107÷103＝104= ; a 7÷a 3=在学生讨论、计算的基础上，教师可提问，你能发现什么？

由学生回答，教师板书，发现

25÷22=23=25-2

107÷103＝104=10

a 7÷a 3=a 4=a 7-37-3; .

你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？

分组讨论：各组选出一个代表来回答问题，师生达成共知识，除法与乘法是逆运算，所以除法的问题实际上“已知乘积和一个乘数，去求另一个乘数”的问题，于是上面的问题可以转化为乘法问题加以解决。即

（ ）×22=25 （ ）×103=107 （ ）×a 3=a 7

一般地，设m 、n 为正整数，m >n ，a ≠0，有

a m ÷a n =a m -n .

这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。 ．．．．．．．．．．．．．．．．

4、利用除法的意义来说明这个法则的道理。（让学生仿照问题3的解决过程，讲清道理，并请几位同学业回答问题，教师加以评析）

因为除法是乘法的逆运算，a m ÷a n =a m-n 实际上是要求一个式子（ ），使 a n ·（ ）= am 而由同底数幂的乘法法则，可知 a n ·a ＝a

所以要求的式（ ），即商为a m-n m-n n+(m-n) =a , m ，从而有a m ÷a n =a m -n .

三、 例题讲解与练习巩固

例1 计算：

（1） a 8÷a 3; （2）(-a ) 10÷(-a ) 3; （3）(2a ) 7÷(2a ) 4; （4）x 6÷x

例2 计算：（1） (2)(-x)6 ÷x 2 (3)（a +b ）4÷(a +b ) 2

例3 计算： (-a2) 4÷(a3) 2×a 4

例4 计算：（1）27×9÷33212 （2）

说明 底数不同的情况下不能运用同底数幂的除法法则计算.

练习1：计算: x8÷x 4 = ， b5÷b 5 = 6y3÷y 3 = (-x)4÷(-x) =

(ab)6÷(ab)2= ， yn+2÷y n = ， (m3) 4 ÷(m2) 3 = ，

252÷52 = ， y9 ÷(y7 ÷y 3) =

练习2：选择题

1. 下面运算正确的是( )

A ．x 3+x 3=2x 6 B．x 12÷x 2=x 6 C．x n +2÷x n +1=x D．(-x 5) 4=-x 20

2．在下列计算中，①3a 2+2a 2=5a 4 ②2a 2⋅3a 3=6a 6 ③(-a 3) ÷(-a ) 2=-a ④2a 3⋅a 3-(2a 2) 3=-6a 6正确的有（ ）个。

A 、1 B、2 C、3 D、4

例4：讨论探索：（1）已知x =64.xn =8，求x m-n （2）已知m ， ，求

【本课小结】：

运用同底数幂的除法性质时应注意以下问题：

（1）运用法则的关键是看底数是否相同，而指数相减的是指被除式的指数减去除式的指数；

（2）因为零不能作除数，所以底数a ≠0，这是此性质成立的前提条件；

（3）注意指数“1”的情况，如

（4）多个同底数幂相除时，应按顺序计算. ，不能把 的指数当做0；

【布置作业】：1、课本第4页 习题1。 2、同步练习册第1-2页。

课题：21.1.2 单项式除以单项式

【教学目标】：

1、 使学生掌握单项式除以单项式的方法，并且能运用方法熟练地进行计算。

2、 探索多项式除以单项式的方法，培养学生的创新精神。

3、 培养学生应用数学的意识。

【重点难点】：

重点：单项式除以单项式，多项式除以单项式方法的总结以及运用方法进行计算是重点。

难点：运用方法进行计算以及多项式除以单项式方法的探求是难点。

【教学过程】：

一、 复习提问

1、叙述并写出幂的运算性质及怎样用公式表示？

2、叙述单项式乘以单项式的法则

3、叙述单项式乘以多项式的法则。

4、练习

x 6÷x 2 ， （—b ）3÷b = 4y 2÷y 2 (－a) 5÷(－a) 3

y n+3÷y n ， (－xy) 5÷(-xy)2 ，（a+b）4÷（a+b）2,

y 9 ÷(y4 ÷y) = ；

二、创设问题情境

问 题

地球的质量约为5.98×1024千克，木星的质量约为1.9×1027千克. 问木星的质量约是地球的多少倍？（结果保留三个有效数字）

分 析

本题只需做一个除法运算：（1.9×1027）÷（5.98×1024），我们可以先将1.9除以5.98，2724再将10除以10，最后将商相乘.

解 （1.9×1027）÷（5.98×1024）

＝（1.9÷5.98）×1027-24

≈0.318×103＝318.

答：木星的重量约是地球的318倍.

教师提问：对于一般的两个单项式相除，这种方法可运用吗？

概 括

两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除就可以了.

三、例1计算：

（1）6a 3÷2a 2； （2）24a 2b 3÷3ab ； （3）-21a 2b 3c ÷3ab .

分析：对于（1）、（2），可以按两个单项式相除的方法进行；对于（3），字母c 只在被除数中出现，结果仍保留在商中。

解（1） 6a 3÷2a 2＝（6÷2）（a 3÷a 2）=3a .

（2） 24a 2b 3÷3ab =(24÷3) a 2-1b 3-1=8ab 2.

（3）-21a 2b 3c ÷3ab =(-21÷3) a 2-1b 3-1c = -7ab 2c .

说明：解题的依据是单项式除法法则，计算时，要弄清两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些是只在被除式里出现的字母，此外，还要特别注意系数的符号.

由学生归纳小结如：

一般地，单项式相除，把分数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

练习1：计算：

（1） （2）

练习2：计算：课本第4页练习1、2

例2：计算： （1）

解：（1）原式

练习：计算（1）

（2）

四、探索多项式除以单项式的一般规律

讨 论

有了单项式除以单项式的经验，你会做多项式除以单项式吗？

（1）计算（ma +mb +mc ）÷m ；

（2）从上面的计算中，你能发现什么规律？与同伴交流一下；

概括：多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算法则： 先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所有的商相加．

例3 (1)计算 (12x3－5ax 2－2a 2x) ÷3x

(2)讨论探索： 已知一多项式与单项式－7x 5y 4 的积为21x 5y 7－28x 6y 5，求这个多项式。

说明：

（1） 多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，即被除式有n 项，商仍有n

项，不要漏项；

（2） 要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基础运算，幂的运算性质是整式

乘除法的基础，只有抓住关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算

（3） 符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和

单项式的符号。

（4） 可以利用乘除是互逆运算校验计算是否正确，每一步运算都尽量要求学生说出依据。

【教学小结】：

1、单项式除以单项式，有什么方法？

2、多项式除以单项式有什么规律？

【布置作业】：课本第5页2、3、4。

课题：21.2.1分式的基本性质（1）

【教学目标】：

1．使学生经历分式概念的形成过程，了解分式、整式、有理式诸概念的区别与联系。

2．使学生掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义。

3．使学生掌握分式有意义的条件，认识事物的联系与制约关系。

【重点难点】：

A （A 、B 是整式）并理解分式概念中的“一个特点”：分母含B

有字母；“一个要求”：字母的取值要使分母的值不能为零；2，掌握分式约分方法并熟练进行分式约分。

难点：理解分式中的分母含有字母以及字母的取值要使分母的值不能为零；分子、分母是多项式的分式约分 重点：1，了解分式的形式

【教学过程】：

一、做一做

（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米；

（2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米；

（3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是______元；

二、讲解分式的有关概念 A 形如(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0) 的式子，叫做分式. B

其中 A叫做分式的分子, B 叫做分式的分母.

整式和分式统称有理式。

注意：在分式中，分母的值不能是零。

例如，在分式S 9中，a ≠0；在分式中，m ≠n. a m -n

A 都有：分式有意义

B 一般的，对分式B ≠0。

分式没有意义

分式的值为

三、例题讲解与练习

例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ B=0。 A=0且B ≠0。

1x 3x -y 2xy （1）； （2）； （3）； （4）. 3x 2x +y

例2、 当x 取什么值时，下列分式有意义？

x x -1（1）； （2）。 x -24x +1

x +2例3、当x 是什么数时，分式的值是零？ 2x -5

练习1．下列各式分别回答哪些是整式？哪些是分式？

x +2n 32y x 2-9， ， 2a-3b, , , - 5m 5y -3(x -1)(x -2)

练习2 分式 y +2，当y 时，分式有意义；当y 时，分式没有意义；当y 时，分y -3

式的值为0。

练习3 讨论探索

当x 取什么数时，分式

四、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. |x |-2 （1）有意义 （2）值为零？ x 2-4

用式子表示是： A A ⨯M A A ÷M , = = （ 其中M 是不等于零的整式）。 B B ⨯M B B ÷M

与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.

例4、下列等式的右边是怎样从左边得到的？

x 2+xy x +y y +1y 2+2y +1=（1） （2）（y ≠—1）. =2x 2x y -1y -1

x 2+xy x +y =特别提醒：对，由已知分式可以知道x ≠0，因此可以用x 去除以分式的分x 2x

y +1y 2+2y +1子、分母，因而并不特别需要强调x ≠0这个条件，再如是在已知分式的=2y -1y -1

分子、分母都乘以y+1得到的，是在条件y+1≠0下才能进行的，所以，这个条件必须附加强调。

例5 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

12x +y 3； （2）0. 3a +0. 5b . （1）2

120. 2a -b x -y 23

例6 约分

x 2-4-16x 2y 3

（1）； （2）2 x -4x +420xy 4

x +2x 2-4(x +2)(x -2) 解（2）2＝＝. 2x -2x -4x +4(x -2)

说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.

练习：约分：

m 2-3m 992-1-2a (a +b ) 2ax 2y (a -x ) 2x 2-4； ； ； ； ； 。 9-m 2983b (a +b ) xy +2y 3axy 2(x -a ) 3

【本课小结】：

1、式的概念和分式有意义的条件。

2、请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质

3、分式的约分运算，用到了哪些知识？

让学生发表，互相补充，归结为：（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”。

【布置作业】：课本第8页习题1、2

课题：21.2.2分式的基本性质（2）

【教学目标】：

1．进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。

2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；

【重点难点】：

重点：让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法。

难点：几个分式最简公分母的确定。

【教学过程】：

一、 复习

x +3中，当x 时分式有意义，当x 时分式没有意义，当x 时分式的2x -4

值为0。

2．分式的基本性质。

二、分式的的变号法则

例1 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号： 1．分式

（1）-5b 2m -x ； （2）； （3）. -6a -n 3y

例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：

x 2-x （1）； （2）. 1-x 2-x 2+3

注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。

（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。

例3若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则分式2x 的值如何变化？若x 、y 的值均变为原来的23y

一半呢？

三、分式的通分

1351．把分数, , 通分。 246

16⨯1633⨯3952⨯510==，==解 =，=。 26⨯21243⨯41262⨯612

2．什么叫分数的通分？

答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。

3．和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的公分母。

4．讨论： （1）求分式111的（最简）公分母。 , , 322342x y z 4x y 6xy

分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z 。所以三个分式的公分母为12x 3y 4z 。

11（2） 求分式与的最简公分母。 4x -2x 2x 2-4

分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即

4x —2x 2= —2x （x-2），x 2—4=（x+2）（x —2），

把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x （x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。

请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。

答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；

2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

5．练习：填空：

（1）111； （2）； （3）。 ===[1**********]4x y 12x y z 6xy 12x y z 2x y z 12x y z

求下列各组分式的最简公分母：

（1）215111, , ； （2）； , , 3ab 24a 2c 6bc 23x (x -2) (x -2)(x +3) 2(x +3) 2

x 11, 2, 2 2x +2x +x x -1

6、例3 通分 （3）

（1）111111，； （2），； （3），. 222a 2b ab 2x -y x -y x +y x +xy

分析 ：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。

解：略

（3）因为 x 2－y 2＝________________, x 2＋xy ＝________________, 所以11与的最简公分母为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，即x (x 2-y 2) ，因此 222x -y x +xy

11＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿， ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 222x -y x +xy

练 习

1. 通分：

（1）1111x 5，； （2）， （3）. , 222223x x +x x -x 12xy (2-x ) x —4

【本课小结】：

把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

【布置作业】：课本第8页4、5

课题：21.3.1分式的乘除法

【教学目标】：

1、让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。

2、使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运

算

2、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力。

【重点难点】：

重点：分式的乘除法、乘方运算

难点：分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。

【教学过程】：

一、复习提问：

(1)什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？

(2)：下列各式是否正确？为什么？

二、探索分式的乘除法的法则

1． 回忆： 312计算：⨯4÷1*/-9 563

2．例1计算：

a 2xy a 2yz a 2x ay 2

（1）2⋅2； （2）22÷22. b z b x by b x

由学生先试着做，教师巡视。

3．概括：分式的乘除法用式子表示即

x -2x 2-9⋅4. 例2计算：. x +3x 2-4是：

分析：①本题是几个分式在进行什么运算？

②每个分式的分子和分母都是什么代数式？

③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？

④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？

解 原式＝x -3x -2(x +3)(x -3) ⋅＝. x +2x +3(x +2)(x -2)

5．练习：

①课本第9页练习1。

②计算： (xy -x 2) ÷x -y xy x 2-1x 2+2x ÷(x +1) ⨯2x +4x +41-x

三、、探索分式的乘方的法则

1、思 考

我们都学过了有理数的乘方，那么分式的乘方该是怎样运算的呢？

先做下面的乘法：

（1）

（2）n n n (　　　　　　)＝（n ）3； ⋅⋅＝m m m m 　　　　　　n n n (　　　　　　)＝（n ）k . ⋅⋅ ⋅＝m m m m 　　　　　　

k 个

2、仔细观察这两题的结果，你能发现什么规律？与同伴交流一下，然后完成下面的填空： （n

m ）(k ) =___________（k 是正

3、

4、练习：(1)判断下列各式正确与否：

(2)计算下列各题：

【学生小结】：

1、怎样进行分式的乘除法？

2、怎样进行分式的乘方？

【布置作业】：

课本第11页习题第1、5题。

课题：21.3.2 分式的加减法 整数）

【教学目标】：

1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。

2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。

3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。

【重点难点】：

重点：让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。

难点：分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。

【教学过程】：

一、同分母分式的加减法

1．回忆：同分母的分数的加减法

2．类似地，同分母的分式的加减法法则如下：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

3．例1计算：

222（x +y ）(x -y ) 2x y (x +y ) (x -y ) +（1）；（2）. （3）2－ -xy xy xy xy x -y 2y 2-x 2

(x +y ) 2(x -y ) 2(x +y ) 2+(x -y ) 2

解（1） ＝ +xy xy xy

x 2+2xy +y 2+x 2-2xy +y 22(x 2+y 2) ＝ ＝ xy xy

(x +y ) 2(x -y ) 2

（2）－ xy xy

4xy (x +y ) 2-(x -y ) 2(x 2+2xy +y 2) -(x 2-2xy +y 2) ＝ ＝ ＝ ＝4. xy xy xy

4、练习：课本第11页练习1。

二、异分母分式的加减法

1．回忆：异分母分数的加减法

11325计算： +=+= 23666

2、与异分母分数的加减法类似，异分母分式相加减，需要先通分，变为同分母的分式，然后再加减.

① 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

② 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；

③ 分母是多项式时一般需先因式分解。

3．例2 计算：

13324-2（1）2＋； （2）. 3x 4x x -4x -16

1349x 9x +4+解 （1）2＋ ＝ ＝ 3x 4x 12x 212x 212x 2

（2）因为最简公分母是________________________________，所以324-2 x -4x -16

＝_____________________＝_____________________＝_____________________-.

4．练习：课本第11页练习2（1、2、3小题）

a 2

-a -b 5、例3：计算 a -b

a 2a +b a 2(a +b )(a -b ) 解：原式a +b ) == -=-a -b 1a -b a -b 2222a -(a -b ) b ==a -b a -b

6、练习：计算

4a 2

+a -2 （1）a -1- （2）a +2a -1

1111⎫⎛1⎛⎫++（3） 1- （4） -1⎪2⎪(a -b )(a -c ) (b -c )(b -a ) (c -a )(c -b ) 1-x x ⎝⎭⎝⎭

【本课小结】：异分母分式的加减法步骤：

1. 正确地找出各分式的最简公分母。

求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。

2. 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。

3. 用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。

4. 公分母保持积的形式，将各分子展开。

5. 将得到的结果化成最简分式。

【布置作业】：

课本第12页2、3、4。

课题：21.4.1可化为一元一次方程的分式方程（1）

【教学目标】：

1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.

2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.

【重点难点】：

1、使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.

2、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。

【教学过程】：

一、探究问题，引入分式方程的概念：

1、问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同. 已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.

2、分析：

设轮船在静水中的速度为x 千米/时，根据题意，得

8060=. （1） x +3x -3

3、概 括

方程（1）有何特点？

让学生观察分析后，发表意见，达成共识：

方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

教师提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？

让学生举出分式方程的例子，根据分式方程的概念进行判定，加深对分式方程概念的理解。

4、辨析：判断下列各式哪个是分式方程．

(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．

二、探究分式方程的解法

1、思 考 ： 怎样解分式方程呢？

为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：

1）、回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？

2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？

试动手解一解方程（1）.

方程（1）可以解答如下：

方程两边同乘以（x +3）(x -3) ，约去分母，得

80（x -3）=60(x +3).

解这个整式方程，得

x =21.

所以轮船在静水中的速度为21千米/时.

2、概 括

上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解. 所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

12=23、例1 解方程：. x -1x -1

解 方程两边同乘以（x 2-1）, 约去分母，得

x +1=2.

解这个整式方程，得

x =1.

2事实上，当x =1时，原分式方程左边和右边的分母（x －1）与（x －1）都是0，方程中出

现的两个分式都没有意义，因此，x =1不是原分式方程的根，应当舍去. 所以原分式方程无解.

4、在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.

因此，在解分式方程时必须进行检验.

5．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？

对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求. 如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根.

6、验根的方法

解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零. 有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零. 如果为零，即为增根.

如例1中的x =1，代入x 2－1＝0，可知x =1是原分式方程的增根.

7、有了上面的经验，我们再来完整地解二个分式方程.

x -51x -216x +2=-2=例2 解方程：（1）1- （2） 4-x x -4x +2x -4x -2

x -51= 解：方程两边同乘以x -4x -4 解： 1+ ，得 方程两边同乘以 ，

， 得 ．

，

∴ ∴ ．

检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0 检验：把x =2代入 x2—4，得x 2—4=0。 所以，x =5是原方程的解. 所以，x =2是增根，从而原方程无解。.

8、练习：课本第页练习1、2

【本课小结】：

1、什么是分式方程？举例说明

2、解分式方程的一般步骤：

a. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．

b. 解这个整式方程．

c. 验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．

3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？

【布置作业】：

课本第16页练习3、习题1

课题：21.4.2 可化为一元一次方程的分式方程（2）

【教学目标】：

1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。

2、通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识。

【重点难点】：

重点：让学生学习审明题意设未知数，列分式方程。

难点：在不同的实际问题中，设元列分式方程

【教学过程】：

一、 复习练习

解下列方程：

3-x 4+x =-2 （2） （1）x +1x +1237+= x +322x +6

解：方程两边同乘以 ，得

543-2=23－x=4＋x －2(x＋1) （3）2 x -2x x +2x x -4

3－x=2－x

0·x=0 ．

因为任何有理数与0相乘，积都不可能是1，

所以此方程无解，即原方程也无解．

二、列方程解应用题

1、学生回忆：列方程解应用题的一般步骤：

在学生回顾、回答的同时，教师板书：

1）、审清题意；

2）、设未知数；

3）、列式子，找出等量关系，建立方程；

4）、列方程；

5）、检查方程的解是否符合题意；

6）、作答。

这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习列分式方程解应用题。

2、例1某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致. 已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完. 问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

解 设乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则甲每分能输入2x 名学生的成绩，根据题意得

26402640-2⨯60. ＝2x x

解得 x ＝11.

经检验，x ＝11是原方程的解. 并且x ＝11，2x ＝2×11＝22，符合题意.

答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；时间要统一。

2、概括：列分式方程解应用题的一般步骤：

（1）审清题意；

（2）设未知数（要有单位）；

（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；

（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；

（5）写出答案（要有单位）。

3、练习：求解本章导图中的问题.

4、例2 A，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。

分析：已知两边的速度之比为5：2，所以设大车的速度为2x 千米/时，小说车的速度为5x 千米/时，而A 、B 两地相距135千米，则大车行驶时间135135小时，小车行驶时间小时，2x 5x

由题意可知大车早出发5小时，又比小车早到30分钟，实际大车行驶时间比小车行驶时间多

4.5小时，由此可得等量关系

解析：设大车的速度为2x 千米/时，小车的速度为5x 千米/时，根据题意得

1351351－=5-解之得x=9 2x 5x 2

经检验x=9是原方程的解

当x=9时，2x=18，5x=45

答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时

5、练习：

（1）甲乙两人同时从

时比乙多走 地出发，骑自行车到 地，已知 两地的距离为 ，甲每小 ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走 ，则可列方程为（ ）

A ． B． C． D．

（2）我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

【本课小结】：

1、列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么？

2、你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？

【布置作业】：

课本第17页第2、3题。

课题：21.4.3可化为一元一次方程的分式方程复习

【教学目标】：

3、使学生能较熟练的列可化为一元一次方程的分式方程解应用题。

4、提高分析问题和解决问题的能力。

【重点难点】：

分析应用题中的数量关系，提高思维能力。

【教学过程】：

一、 复习练习

1、(02苏州) 某农场挖一条960m 长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m ，结果提前4天完成了任务。若设原计划每天挖xm ，则根据题意可列出方程（ ） [***********]-=4 B. -=4 C. -=4 D. A. x x +20x +20x x x -20

960960-=4 x -20x

2、（03苏州）为了绿化江山，某村计划在荒山上种植1200棵树，原计划每天种x 棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前了5天完成了任务，则可以列出方程为（ ）

[***********]0012001200A ） －=5 B）－=5 C）－=5 D）－x +40x -40x +40x x x x 1200=5 x -40

二、例题讲解与练习巩固

1、例1 购一年期债券，到期后本利只获2700元，如果债券年利率12.5%，&127;那么利息是多少元?

解：(1)设利息为x 元，则本金为(2700-x)元，依题意列分式方程为：

解此方程得 x=300

经检验x=300为原方程的根

答：利息为300元。

练习：一组学生乘汽车去春游，预计共需车费120元，后来人数增加了1，费用仍不变，这样4

每人少摊3元，原来这组学生的人数是多少个？

2、解一组方程，先用小计算器解20分钟，再改用大计算器解25分钟可解完，如果大计算器的运算速度是小计算器的4倍，求单用大计算器解这组方程需多少时间?

解：设单用大计算器解全部题x 分钟可解完，则用小计算器用4x 分才能解完，则大计算器的速度为，小计算器的速度为。

依题意列分式方程得：20﹒+25﹒=1 x=30

经检验，x=30为原方程的解

答：单用大计算器30分钟可解完这组方程。

讨论探索： 某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元, 乙工程队工程款1.1万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。

在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？

3、例3 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，

（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少

人？

解：（1）设这个学校八年级学生有x 人.

由题意得，x ≤300

x+60＞300

∴240 ＜x ≤300

（2） 分析：

有两个数量关系：①批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同；

②用120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60枝。

一般地，①用来设立未知数，②用来立方程。

6解：设批发价每支y 元，则零售价每支y 元。 5

由题意得，120120+60=。 6y y 5

1解之得，y= 3

1经检验，y=为原方程的解。 3

所以，120=300. 6y 5

答：（1）240人 ＜八年级的学生总数≤300人。

（2） 这个学校八年级学生有300人。

【本课小结】：

列分式方程解应用题的一般步骤：列方程解应用题注意分析题目中的数量，分清哪些是未知数，哪些是已知数，再找出这些数量间的关系，尽量找出多的数量关系，一般地，其中一个用来设立未知数，另一个用来立方程。

【布置作业】：

课本第23页11、12、15。

课题: 21.5.1零指数幂与负整指数幂

【教学目标】：

1、 使学生掌握不等于零的零次幂的意义。

2、 使学生掌握a -n =1（a ≠0，n 是正整数）并会运用它进行计算。 n a

3、 通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。

【重点难点】：

不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。

【教学过程】：

一、讲解零指数幂的有关知识

1、问题1 在§21.1中介绍同底数幂的除法公式a m ÷a n =a m-n 时，有一个附加条件：m ＞n ，

即被除数的指数大于除数的指数. 当被除数的指数不大于除数的指数，即m =n 或m ＜n 时，情况怎样呢？

2、探 索

先考察被除数的指数等于除数的指数的情况. 例如考察下列算式：

52÷52，103÷103，a 5÷a 5(a ≠0).

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷52＝52-2＝50，

103÷103＝103-3＝100，

a 5÷a 5＝a 5-5＝a 0(a ≠0).

另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.

3、概 括

我们规定：

50=1，100=1，a 0=1（a ≠0）.

这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.

二、讲解负指数幂的有关知识

1、探 索

我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：

52÷55， 103÷107，

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4.

另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为

[**************]÷5＝5＝23＝3， 10÷10＝7＝3＝. 445105⨯51010⨯105252、概 括

由此启发，我们规定： 5-3＝11-4， 10＝. 34510

一般地，我们规定： a -n =1(a ≠0，n 是正整数) a n

这就是说，任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.

三、例题讲解与练习巩固

1、例1计算：

⎛1⎫（1）8÷8； （2）10； （3） ⎪⨯10-1 ⎝3⎭1010-20

解 （1）810÷810＝810-10＝80＝1.

11（2）10-2＝2＝. 10010

11⎛1⎫（3） ⎪⨯10-1＝1×1＝. 1010⎝3⎭0

练 习：计算：

⎛1⎫⎛1⎫-2（1）（-0.1）；（2） ；（3）2；（4）⎪ ⎪. ⎝2003⎭⎝2⎭00-2

2、例2计算：

20-420406-2⑴ (-10)⨯(-10)+10⨯10； ⑵ ⎡-2⨯4-2⨯2÷(-2)÷2⎤⨯4÷10。 ⎣()⎦

解： ⑴(-10)⨯(-10)+102⨯100=100⨯1+100⨯1=200。

⑵⎡-2⨯4-2⨯2÷(-2)÷2⎤⨯4÷1040620

⎣()-4-2

⎦4⎡4⎤21⎛1⎫6=⎢-2⨯2÷ -⎪÷2⎥⨯2÷2 10⎝2⎭⎢⎥⎣⎦

=-24+1+4-6⨯22⨯102=-25⨯102=-3200。

练习：计算

（1）(2+1) -1+(2-1) 0-2sin 450

1（2）(-2) 0+(-) -2-(-2) 2 2

1（3）（03苏州）计算：16÷（—2）3—（）-1+（3-1）0 3

2、例3、用小数表示下列各数：

（1）10-4； （2）2.1×10-5.

1解 （1）10-4＝4＝0.0001. 10

1（2）2.1×10-5＝2.1×5＝2.1×0.00001＝0.000021. 10

3、练习：用小数表示下列各数：

（1）-10-3×（-2） （2）（8×105）÷（-2×104）3

【本课小结】：

1、同底数幂的除法公式a m ÷a n =a m-n (a ≠0,m>n)当m=n时，a m ÷a n = 当m

÷a n =

2、任何数的零次幂都等于1吗？

13、规定a -n =n 其中a 、n 有没有限制，如何限制。 a

【布置作业】：

课本第20页习题1、第22页复习题A2。

课题：21.5.2 科学记数法

【教学目标】：

4、 能较熟练地运用零指数幂与负整指数幂的性质进行有关计算。

2、 会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数。

【重点难点】：

重点：幂的性质（指数为全体整数）并会用于计算以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数 难点：理解和应用整数指数幂的性质。

【教学过程】：

一、 复习练习：

1111、() 0=；(-3) -1；(-) -2(-) -3，() -1 2410

2、（04苏州）不用计算器计算：÷（—2）2 —2 -1+1

3-1

二、指数的范围扩大到了全体整数.

1、探 索

现在，我们已经引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数. 那么，在§14.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列．．．．．

式子是否成立.

（1）a 2⋅a -3=a 2+(-3) ； （2）(a ·b ) -3=a -3b -3； （3）(a -3) 2=a (-3)×2

2、概括：指数的范围已经扩大到了全体整数后，幂的运算法则仍然成立。

3、例1 计算(2mn 2) -3(mn -2) -5并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式。

1-84 n 4

解：原式= 2m n ×m n = m n = 88m 8-3-3-6-510 4 练习：计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：

（1）(a -3) 2(ab 2) -3； （2）(2mn 2) -2(m -2n -1) -3.

三、科学记数法

1、回忆： 在§2.12中，我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 a ×10n 的形式，其中n 是正整数，1≤∣a ∣＜10. 例如，864000可以写成8.64×105.

2、 类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10-n 的形式，其中n 是正整数，1≤∣a ∣＜10. ．．．．．．．．．．．．．．．

3、探索：

10-1=0.1

10-2

10-3

10-4

10-5

归纳：10

例如，上面例2（2）中的0.000021可以表示成2.1×10-5.

4、例2、一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.

11分 析 我们知道：1纳米＝9米. 由9＝10-9可知，1纳米＝10-9米. 1010

-9所以35纳米＝35×10米.

-9-9而35×10＝（3.5×10）×10

＝35×101＋（－9）＝3.5×10-8，

所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米.

5、练 习

①用科学记数法表示：

（1）0.000 03；（2）-0.000 0064；（3）0.000 0314；（4）2013 000.

②用科学记数法填空：

（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_________秒；

（2）1毫克＝_________千克；

（3）1微米＝_________米； （4）1纳米＝_________微米；

（5）1平方厘米＝_________平方米； （6）1毫升＝_________立方米.

【本课小结】：

引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足，1≤∣a ∣＜10. 其中n 是正整数 ．．．．．．．．．．．．．．．

【布置作业】：课本第20页习题2、3；第22页复习题A3。