小船渡河 [小船渡河问题的分析]

【例】

一艘小船在宽为d 的河中横渡到对岸，已知水流速度是V 水，小船在静水中的速度是v 船，求：

（1）欲使渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？ （2）欲使渡河位移最短，船应该怎样渡河？最短位移多大？

在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河问题是常见的运动的合成与分解的典型问题，又是小蜡块实验的拓展与延伸。但在实际的教学中，由于这部分知识太过抽象，又没有切实可行的教具直观演示。所以使得这部分知识学起来很困难。

在此之前，学生已经必须要明白“分运动”与“合运动”的关系： （1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、s 分）互不干扰。

（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。

（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。

【分析】

小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。但是在现实中由于船头方向的不确定性，使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定，从而导致小船渡河问题的复杂化，加深了学生理解的难度。

题目分两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。涉及两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间

【解答】

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间

t =

d

υ1

=

d

，显然，当θ=90︒时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小

υ船sin θ

为

d

，合运动沿v 的方向进行。 v

2．位移最小

υ水

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为cos θ=

υ船

但这有限制条件即υ船>υ水，若v 船

设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据cos θ=

v 船v 水

船头与河岸的夹角应为

v 船

θ=，船沿河漂下的最短距离为：

v 水x min =(v 水-v 船cos θ) ⋅

d

v 船sin θ

此时渡河的最短位移：s =

dv d

=水 cos θv 船

【心得】

对学生来说第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。