变化率和导数【变化率与导数.导数的计算】
变化率与导数、导数的计算
自我检测：
1．(教材习题改编) 若f (x ) ＝x e ，则f ′(1)＝( )
A ．0 B ．e C．2e
D ．e
2
x
2．曲线y ＝x ln x 在点(e，e) 处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )
A ．2
1
B ．－2
1D ．－
2
1232
3．(教材习题改编) 某质点的位移函数是s (t ) ＝2t －(g ＝10 m/s) ，则当t ＝2 s 时，它
2的加速度是( ) A ．14 m/s
2
B ．4 m/s C．10 m/s
3
22
D ．－4 m/s
2
4．(2012·广东高考) 曲线y ＝x －x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．
解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x
＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x
[例1] e ＋1(1)y ＝x sin x ； (2)y ＝
e －1
2
x
练习1．求下列函数的导数．
⎛211⎫x
(1)y ＝e ·ln x ； (2)y ＝x x ＋＋3⎪；
⎝
x x ⎭
[例2] y 轴交点的纵坐标
是( )
A ．－9 B ．－3 C．9
(2)设函数f (x ) ＝g (x ) ＋x ，曲线y ＝g (x ) 在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线
2
D ．15
y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处切线的斜率为( )
1A
4
若例2(1)变为：曲线y ＝x ＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程．
练习2．(1)(2012·新课标全国卷) 曲线y ＝x (3ln x ＋1) 在点(1,1)处的切线方程为________．
11
(2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验) 直线y ＋b 与曲线y ＝－＋ln x 相切，则b 的值
22为( ) A ．－2
3
B ．2 C．4
1D 2
1
B ．－1C
2
D ．1
变化率与导数、导数的计算作业
1．设函数f (x ) 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x ) 在x ＝5处的切线的斜率11
为( )A ．－ B．0 C.．5
55
2．函数f (x ) 是定义在(0，＋∞) 上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x ) ＋f (x )b ，则必有 A ．af (b )
( ) ．
D ．bf (b )
B ．bf (a )
1
3．已知函数f (x ) ＝x 3＋2ax 2a (a >0)，则f (2)的最小值为( ) ． 3
A ．122
12
B ．12＋8a ＋a C ．8＋8a a
D ．16
4．已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ，且满足f (x ) ＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) ． A ．－e B．－1 C．1 D．e
5．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x ) ＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8) ，则f ′(0)＝( ) ． A ．2 B．2 C．2 D．2
6．已知函数f ′(x ) ，g ′(x ) 分别是二次函数f (x ) 和三次函数g (x ) 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h (x ) ＝f (x ) －g (x ) ，则 ( ) ． A ．h (1)
8．若过原点作曲线y ＝e 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 9．已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) ＝2f (2－x ) －x ＋8x －8，则曲线y ＝f (x ) 在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.
10．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元) 与时间t (单位：月) t 2的函数关系为：y ＝2＋(1≤t ≤12) ，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．
20－t 11．求下列函数的导数：
e x ＋1
(1)y ＝(2x ＋1) ，(n ∈N ) ； (2)y ＝ln (x ＋1＋x ) ； (3)y ＝ (4)y ＝2x sin(2x ＋5) ．
e －1
n
*
2
6
9
12
15
x
12．设函数f (x ) ＝x ＋2ax ＋bx ＋a ，g (x ) ＝x －3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x ) 与y ＝g (x ) 在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；
(2)若方程f (x ) ＋g (x ) ＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1
322
b
13．设函数f (x ) ＝ax －x y ＝f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x ) 的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x ) 上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
314．设f (x ) ＝ln(x ＋1) ＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数) ，曲线y ＝f (x ) 与直线y ＝x
2在(0,0)点相切．
9x
(1)求a ，b 的值； (2)证明：当0
x ＋6