老师与学生一起去“打水”？|老师和学生一起去看电影

　　我们常说，要给学生一碗水，教师需要有一桶水。这是非常正确的。不过，近年来，建构主义开始在中国教育界风行起来，于是，很多数学老师加入了崇拜建构主义的队伍，对老师需要有“一桶水”学科知识、老师的主导作用越来越淡化，甚至有人提出老师不需要有“一桶水”，老师与学生一起去“打水”(建构)就够了。虽然这些提法有合理的成分，但对教学改革存在误导。比如一部分老师不再加强基本功的练习，以致课堂教学中经常出现科学性错误；而很大一部分老师认为课堂是学生的，老师不能灌输，否认接受性学习。这些都是错误的。
　　对于课堂尤其是数学课堂来说，教师的主导作用应该是不容置疑的。因为数学教育过程不能等同于认识过程，数学教育需要有计划地将人类几千年积累的数学知识精华，在几年或十几年的时间内让学生得以基本掌握，于是，学习效率是不可避免的要求。而且，最重要的一个原因是数学这门学科具有的特殊性――抽象性与严谨性。抽象性表现在两个方面，一方面是思维对象的抽象，另一个方面是思维过程中方法是抽象的。严谨性体现在数学的公理化思想中。要让学生在短时间内能够体会到这些，老师必须全盘掌控课堂，给予正确指导。课堂中一些关键性的问题当然应该由教师提出来，并向学生讲解其中的道理。比如，无理数的教学。
　　问题：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?
　　解决起来很容易，接下来很自然的问题：你知道这个大正方形的边长是多少吗?(设大正方形的边长为x，即有x2＝2)
　　自然地、合理地提出问题：如何求出x2＝2(x＞0)中的x?
　　自然地、合理地解决问题：
　　思考1 x2＝2(x＞0)中的x是确定的，可求的
　　思考2　如何求?学生在目前的知识储备下，难以用精确的、逻辑的方法求得。考虑到是面积为2的正方形的边长，因此可用测量的方法求；考虑到x是确定的，且1＜x＜2，因此可用逐步逼近的方法求。
　　思考3　由于测量有比较大的局限性，故用逐步逼近法深入探究,此时，依次有1＜x＜2，1.4＜x＜1.5，1.41＜x＜1.42,1414＜x＜1.1415，1.4142＜x＜1.4143，1.41421＜x＜1.41422,1.414213＜x＜1.414214,1.42135＜x＜1.4142136，…，但这样下去，何处是尽头?
　　思考4　X2＝2中x不可能是有限小数，否则x2不可能等于2，而只能等于某一个小数。x也不可能是无限循环小数，否则，x就可以化为分母不为1的既约分数，x2也不可能等于2(告诉学生，这是个猜想性的结论，需要给予严格的证明)。因此，x是一种不同于以前所学的有限小数或无限循环小数，且是与这些数有着质的区别的无限不循环小数，是一种新的数。然后介绍历史上的√2发现所引起的数学危机。
　　自然地、合理地拓展问题：
　　思考5　像x2＝2中的x这样的无限不循环小数。是不是只有一个?x2＝3，x2＝5，x3＝2，X4＝2…中的x是否也具有类似的性质或特点?
　　思考6　既然这是一类与众不同的新数，我们应该给它取个新的名字。结合无理数发现和发展的历史，指出它们叫做无理数，并指出无理数和有理数合在一起统称为实数。
　　思考7　无理数、实数是否也具有有理数所具有的运算性质?
　　在希帕索斯发现无理数之前，毕达哥拉斯学派的“万物皆数(整数)”的信条一直统治着人们。希帕索斯也是在研究直角三角形的时候偶然发现不可公度量的秘密，从而直接导致无理数的诞生。上面的案例正是依据数学史而设计的。可以这么说，即使今天的社会多么先进，学生多么聪明，十几岁的孩子几乎不可能自己去构建出无理数这个引起第一次数学危机的概念，必须得由老师适时提出问题，并给予精辟讲解。
　　案例中的7个思考点，对于我们这些过来人来说，看似很简单合理，一环套一环。但对于脑子里还只装有整数概念的学生来说，要理解还是有一定困难的，几乎每个思考点都需要教师的指导和讲解。尤其是思考4中的分析，学生是不能凭借一己之力或者合作学习获得的。这时教师的分析讲解将显得多么重要，主导地位显得多么突出!
　　实际上，对于数学思想与方法这一块的学习，学生几乎都很难建构，比如数形结合思想，由数想到形，由形联系数，是笛卡儿这样的天才数学家的功劳。学生开始接触这样的思想时，肯定是无法自己建构的。另外，数学中的一些规则、规定，也需要教师直接讲授，比如一些数学符号，直接告诉学生就行。张奠宙先生指出：真正意义上的探究学习(建构)，是高水平的老师教高水平的学生，并且是偶一为之。所以，对于西方盛行的建构主义，老师们一定要客观对待，切莫走极端。
　　(作者单位：岳阳县第一中学，岳阳市第十一中学)