对一道高考题的反思_全国 物理高考题

　　摘要：本文从2008年浙江数学卷第8题的一个学生的错误解法引发的一系列思考，对缘何学生出现“f（ｘ）=a”?圳“f ′（ｘ）=0”的错误认识进行了反思，拓展，进一步提出了若f（ｘ）=a恒成立，则f ′（ｘ）=0成立的结论，并把此结论应用于证明三角恒等式、组合恒等式、导函数的奇偶性与周期性.
　　关键词：导函数；恒等式
　　
　　楔子
　　（2008年浙江卷第8题）若cosα+2sinα=－，则tanα等于（）
　　A．B． 2 C． － D． －2
　　有一位学生这样解答：由cosα+2sinα=－，两边取导数，得－sinα+2cosα=0，即tanα＝2. 与正确答案一致.
　　
　　疑点
　　正当大家为这位同学的巧妙解法心中暗暗叫好时，我泼了冷水.
　　让我们再来解一道类似问题：若cosα+2sinα=2，则tanα=_______？如果我们如法炮制，也得到tanα＝2，显然这是错误的. 这说明上面的解法仅仅是一种巧合罢了. 由方程“f（ｘ）=a”不一定有“f ′（ｘ）=0”成立.
　　
　　反思
　　本题考查了三角函数的知识，是考查三角运算能力的一道好题，我们可以直接求解. 作为选择题，还可以采取验证法等. 缘何学生出现“f（ｘ）=a”?圳“f ′（ｘ）=0”的错误？在学生学习解方程时，学生建立了条件反射“f（ｘ）=a”?圳“f 3（ｘ）=a3”，当面对等式f（ｘ）=a，容易引发错误的类比：f ′（ｘ）=a′=0．
　　
　　拓展
　　问题已水落石出，但同学们并不满足，于是便有了如下的延伸探究. 若f ′（ｘ）=0成立，则f（ｘ）=a恒成立吗？答案是肯定的. 在高中数学中，我们接触到许多恒等式，下面列举二三.?摇
　　1. 三角恒等式
　　证明三角恒等式的常规方法是用三角公式，但有时技巧性强，灵活性大，不易想到． 若想到用导数解决，则会峰回路转．
　　例1求证：cos2x-+cos2x+cos2x+=.
　　证明设f（ｘ）=cos2x-+cos2x+cos2x+，则f′（ｘ）=－2cosxsinx-2cosx+•sinx+-2cosx-• sinx-=－sin2x－sin2x++sin2x-=－sin2x－2sin2x•cos=0，所以f（ｘ）=C（Ｃ为常数）．
　　又C=f（0）=，所以f（ｘ）=cos2x－+cos2x++cos2x＝.
　　2. 组合恒等式
　　证明组合恒等式的方法很多，常利用C+C+…+C=2n，C=C及C=C+C. 这里我们用导数的方法来解决.
　　例2求证：C+2C+3C+…+nC=n2n-1.
　　证明因为C+Cx+Cx2+…+Cxn=（1+x）n，两边对x求导数，得C+2Cx+3Cx2+ …+nCxn-1=n（1+x）n-1. 令x=1，得C+2C+3C+…+nC=n2n-1.
　　3. 导函数的奇偶性与周期性
　　导函数本身有许多独特的性质，如导函数的周期性与奇偶性在最近几年的高考数学试题中便是一大亮点.
　　例3（２００７江西）设函数f（ｘ）是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f（ｘ）在x=5处切线的斜率为（）
　　A. －?摇?摇?摇?摇 B. 0?摇?摇?摇?摇 C. ?摇?摇?摇?摇?摇 D. 5
　　分析由函数f（ｘ）是R上以5为周期的可导偶函数，得f（ｘ）＝ｆ（－ｘ），f（ｘ）＝ｆ（ｘ＋5），利用复合函数导数运算法则得f ′（ｘ）= －f ′（－ｘ），ｆ ′（ｘ）＝ｆ ′（ｘ＋5），所以ｆ ′（ｘ）是以周期为5的奇函数. 所以f′（5）=f ′（0）=0，所以选B.
　　例4（２００６湖南）若f（ｘ）＝ａｓｉｎｘ＋+bsinｘ-（ａｂ≠0）是偶函数,则有序实数对（ａ，ｂ）可以是＿＿＿＿＿＿＿＿（写出你认为正确的一组数即可）.
　　分析f ′（ｘ）=acosｘ＋+bcosｘ-，由f（ｘ）＝ｆ（－ｘ），利用复合函数导数运算法则得f ′（ｘ）＝－ｆ ′（－ｘ），所以f ′（ｘ）是奇函数. 所以f ′（0）=acos+bcos=0，所以a+b=0，只要填满足a+b=0的数组即可.
　　捕捉学生点滴的智慧火花，发现学生思维中的“金子”，有利于增强学生的自信心. 给学生一个宽广的舞台，让他们的思维尽情舞动，而我们要带着欣赏的眼光，做一个好的倾听者.
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