[如何挖掘课本例题习题的教学价值]

　　摘要：例题、习题的教学是整个教学活动的重要部分，在教学过程中有画龙点睛的作用. 因此，要认真搞好课本例题、习题的剖析教学，对典型的例题、习题还要从多角度挖掘其典型的应有的教学价值. 1. 对解题方法进行深入挖掘和研究，做到一题多解，培养学生思维的开阔性和灵活性. 2. 学以致用，挖掘例题、习题结论的利用价值. 3. 变换例题、习题的条件或结论，做一题多变，多题归一，培养学生思维的严密性. 4. 一题多问，挖掘例题、习题的广度和深度，培养学生思维的深刻性. 5. 认真挖掘教材中例题、习题中隐含的德育素材，充分发挥其德育功能.
　　关键词：回归课本；依“纲”固“本”；剖析教学；多角度挖掘；一题多变；丰富解题策略；扩展思维空间
　　
　　例题会有解题最规范的解答过程，它和习题一起控制了教材的深度和知识辐射范围. 课本例题、习题既是如何运用知识解题的经典，也是思维训练的典范. 正是这些典范的作用，学生才初步学会了怎样进行数学思维，怎样运用数学知识进行思考、解题，如何表述自己的解题过程. 例题、习题的教学是整个教学活动的重要部分，在教学过程中有画龙点睛的作用. 因此，要认真搞好课本例题、习题的剖析教学，对典型的例题、习题还要从多角度挖掘其典型的应有的教学价值，这样做不仅能加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握，让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的水平. 此外，对开发学生智力，培养学生良好的思维品质亦有好处.
　　我们应如何设计例题、习题的教学，真正发挥例习题应有的教学价值呢？我认为首先应理解其深刻的用意：即在例习题所要求的数学知识或方法基础上，充分挖掘它的内涵和外延，并结合学生的实际情况，进行适当的改造或拓展，以满足高层次教学的需要，同时也表明数学教学应以课本为本.
　　1. 对解题方法进行深入挖掘和研究，做到一题多解，培养学生思维的开阔性和灵活性. 同一个题目从不同的角度去分析研究，可以得到不同的启迪，因而可用不同的解法，进而延伸解题的思维触角，也激发了学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和创新思维能力.
　　例1（北师大版 必修5?摇P80 例7）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？请说明理由.
　　解析设原住宅窗户面积和地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a0，
　　于是>. 又≥10%，
　　因此>≥10%.
　　所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.
　　这例说明了>（a，b，m>0，且a变形得b（a+m）>a（b+m），推出b>a（已知）.
　　证法3：（综合法）
　　已知b>0，m>0，所以bm>am，又a，b>0，
　　所以ab+bm>ab+am，即b（a+m）>a（b+m），即>.
　　证法4：（数形结合法）
　　设O（0，0），A（b，a），B（b+m，a+m），a，b，m都是正数，并且akOA，即>.
　　证法5：（构造函数法）
　　因为a0，所以f（m）>f（0）. 即>，故>.
　　证法6：（解不等式法）
　　由0?圳>0?圳x（x+b）>0，其解为（-∞，－b）∪（0，+∞）?勐R+，而m∈R+，所以原不等式成立.
　　我们通过课本的一个典型例题多角度的分析来解决问题，扩展思维空间，丰富解题策略，真正做到游刃有余.
　　2. 学以致用，挖掘例题、习题结论的利用价值. 像教材上的例7的结论>（a，b，m>0，且a；这也是用化学意义来证明或记忆不等式的又一妙法.
　　此时，再引导学生一起思考交流P81的第1、2题，学生的兴趣就会得到大大地激发，可以受到良好的教学效果.
　　例3 （北师大版 必修1?摇P56?摇复习题二 B组第5题）
　　设f（ｘ）=，求证：
　　（1）f（－ｘ）＝（x≠±1）；
　　（2）f=－f（ｘ）（x≠－1，x≠0）.
　　编者出此题的用意不仅仅是证明这两个简单的结论，更重要的是要能挖掘出其结论的利用价值.
　　应用练习1设f（ｘ）=，求：
　　（1）f（2）•ｆ（3）•…•ｆ（2008）•ｆ（－2）•ｆ（－3）•…•ｆ（－2008）的值；
　　（2）f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）＋…＋ｆ（2008）＋ ｆ＋ｆ＋…＋ｆ的值.
　　解析由例3的结论易知f（－ｘ）•ｆ（ｘ）=1 （x≠±1）；
　　f+f（ｘ）=0（x≠－1，x≠0）.
　　（1）f（2）•f（3）•…•f（2008）•ｆ（－2）•ｆ（－3）•…•ｆ（－2008）
　　=［f（2）•f（－2）］•［f（3）•f（－3）］•…•［f（2008）•ｆ（－2008）］
　　=1.
　　（2）f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2008）+f＋ｆ＋…＋ｆ
　　=f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2008）+f
　　=f（1）+0
　　=0.
　　变式练习2设f（ｘ）=，计算f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2009）+ f＋ｆ＋…＋ｆ的值.
　　解析受例3的结论启发，易证f+ f（ｘ）=1 （x≠0）.
　　所以f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2009）+ f＋ｆ＋…＋ｆ
　　=f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2009）+f
　　=f（1）+2008
　　=2008.
　　通过本例的研究可以让学生理解课本的例题习题结论的重要应用价值，让学生做题时要善于思考，不能就题论题.
　　3. 变换例题、习题的条件或结论，做一题多变，多题归一，培养学生思维的严密性. 有些例题的问题背景、解决的方法有类似之处，甚至有些题目就是同一题设条件，只是求证的结论的表现形式不同而已，因此进行多题一讲是很必要的. 它可以使学生感觉到某些知识点的核心之处，也无非就是那几个小结论，只要将它的内涵与外延挖掘彻底，灵活运用就可以了，从而使学生学习数学更有信心，不至于被大量的习题弄得无所适从.
　　例4（北师大版 必修1?摇P47?摇习题2-4 A组第6题）
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　求二次函数y=－2x2+6x在下列定义域上的值域：
　　（1）?摇定义域为｛x∈Z0≤x≤3｝；（2）定义域为［－2，1］
　　本题主要考查函数定义域的变化，引起值域相应变化的内容，课本只列出了两种情况，在教学中还应当引导学生继续思考以下定义域上的函数值域问题：（3）定义域为［0，3］； （4）定义域为［－2，0］；（5）定义域为［2，5］；（6）定义域为（－2，1）；（7）定义域为［ａ，ａ＋1］；（8）定义域为（ａ，ａ＋1）.
　　通过这一高密度的对比题组训练，让学生清楚求二次函数在某区间上的值域时要借助函数在此区间上的单调性求其最值，因此要考虑二次函数的对称轴与区间的三种位置关系，同时注意区间的开闭.
　　这种一题多变的训练方式对学生难以掌握的重要问题，可以收到很好的教学效果. 像函数的定义，映射个数，求二次函数在某区间上的最值，有限制条件的排队问题等都可以采用这种训练模式.
　　4. ?摇一题多问，挖掘例题、习题的广度和深度，培养学生思维的深刻性.
　　例5 （北师大版 必修1?摇P30?摇例4）某质点在30 s内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图2. 用解析法表示这个函数，并求出9 s时质点的速度.
　　
　　解析速度是时间的函数，且在不同的区间上对应不同的解析式，因此速度是时间的分段函数，解析式为
　　v(t)=t+10，0≤t 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文