数学有效教学_数学活动水平的层次分析与有效教学

　　[摘要]数学教学是数学活动的教学。不少教师对学生数学活动水平层次的认识和把握不够，极大地影响了数学活动教学效果。从哲学、学生认知发展、数学思维特点的角度来分析，小学生数学活动水平可划分为直观水平、直觉水平、经验水平、知识经验水平、逻辑水平、方法论水平6个水平层次。有效的小学数学活动教学要重视善于引起学生观念上的不平衡，实行数学的“再创造”，提供挑战性认知任务，正确表征数学问题，引导学生“数学地思维”。
　　[关键词]数学活动；水平层次；有效教学
　　
　　数学教学是数学活动的教学。随着数学新课程的深入实施。广大的数学教师在课程理念方面已有一定的认识，比较重视改善学生的数学学习方式，重视数学交流、合作学习等数学活动的教学，并积累了较丰富的数学新课程实施经验。但是，当前数学活动教学在很大程度上仍然停留在“为活动而活动”的表层上。数学教学只是让学生“体验”一下科学家发现知识的过程，从事一下“类似”科学家发现知识的活动，数学活动展开不够充分，数学的本质凸现不够，数学教学缺乏创造性和数学性，学生的数学思路打不开，内在的情感和思维没有被真正激活。这在很大程度上极大地影响了主体的主动建构。上述教学现状导致不少学生独立思考的意识不强。数学学习缺乏深层次的思考，数学学习效率和水平普遍不高，到了中学阶段(高中阶段尤为明显)数学学习显得“后劲”(数学思维)不足。究其原因，不少教师对数学活动水平层次的认识和把握不够，不能准确地了解学生的真实思维活动，较多的只是凭自己的经验、直觉，甚至是主观臆断选择教学方法，教学方法缺乏针对性和有效性，因而在实施数学活动教学时无所适从，不能科学地把握教学的进程与节奏。极大地影响了数学活动教学效果。由此看来，对数学活动水平进行科学分析，探究和把握学生的真实思维活动，进而采取有针对性的有效的数学活动教学策略。对提高数学活动水平和数学教学效率将有着十分重要的意义。
　　关于数学活动，至今还没有一个准确的定义，这里只是局限于对数学中积极性的狭义理解，把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形成和发展来理解，这种思维活动称为数学活动。因此，从这个意义上讲，数学活动是思维活动。
　　
　　一、数学活动水平的层次分析
　　
　　数学活动是一个组织经验领域的活动，学生在数学学习过程中，思维进人较高层次时，较低层次的组织方法将变成较高层次的研究题材，较低层次的活动就成为分析的对象，要了解学生真实的数学思维水平，就必须要对数学活动的层次进行足够深度的分析。
　　
　　1　数学活动水平层次划分的理论依据。
　　从哲学的角度看。人类认识事物所采用的科学方法是逐步深入的，至今有如下5个递进层次：“认识论、实证论、方法论、价值论、本原论”。认识论是人类用以理解事物的最为古朴、直接的思维方法，也是一种本能的认识方法；实证论是认识论的具体和实在化方向的深化；方法论系指思想方法、世界观，可以说是认识论、实证论的升华和指导；价值论是考虑了“利益”关系的问题，也是在自然问题上考虑了社会性的问题或管理类问题：本原论则志在追本溯源，寻找事物发生的真谛。简单地说，认识论是解决“是什么”的，实证论是解决“有什么”的，方法论是解决“像什么”的。价值论是解决“应该是什么”的，本原论是解决“为什么”的。认识论、实证论、方法论是基础、是重点，价值论、本原论是其派生和推广。这为数学活动水平层次划分的类别确定，提供了重要的分层依据。
　　从学生认知发展的角度看，苏联著名心理学家维果茨基提出的“最近发展区”理论认为，儿童有两种发展水平：一是儿童的现有水平，即由一定的已经完成的发展系统所形成的儿童心理机能的发展水平，如儿童已经完全掌握了某些概念和规则；二是即将达到的发展水平。这一理论强调教学不能只适应儿童发展的现有水平。而应走在发展的前面，最终跨越“最近发展区”达到新的发展水平。这为数学活动水平层次间的差异确定，提供了理论支撑。
　　从数学思维特点的角度看。数学活动实质是数学思维的活动，一个具有“数学思维”修养的人常常表现出如下特点：在讨论问题时，习惯于强调定义(界定概念)，强调问题存在的条件；在观察问题时，习惯于抓住其中的(函数)关系，在微观(局部)认识的基础上进一步作出多因素的全局性(全空间)考虑；在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、周期性等概念广义化，用于认识现实中的问题。这对如何确定数学活动水平的层次标准和教学要求，具有直接的理论指导价值。
　　
　　2　小学生数学活动水平的层次剖析。
　　根据上述理论分析，结合我国小学数学教学及学生实际，避开知识的局限性，可以得知，当前我国小学生数学活动水平在认识论、实证论这两个层次上可达到，方法论只是很浅显地涉及但无法达到，至于价值论和本原论不是小学阶段所论及的水平层次。基于这样的认识，笔者认为。可以将小学生数学活动水平划分为如下6个层次：直观水平、直觉水平、经验水平、知识经验水平、逻辑水平、方法论水平。
　　(1)直观水平。
　　这是数学活动的最低层次。在这一层次水平上，学生只能认识眼前有形的、实在的事物。
　　处于此水平上的学生通常是低年级学生。如教学“认识图形”(苏教版义务教育数学课程标准实验教科书《数学》一年级下册)(简称一下，下同)中长方形、正方形、圆时，学生通过实物(长方体积木等)和模型来辨认“附着”在其上的长方形、正方形、圆。就是直观水平。但是值得注意的是，中高年级学生进行数学学习时，有时还需重复经历这一水平层次，如教学“长方体和正方体的认识”(六上)，学生虽对长方体、正方体有直观认识，但仍需要结合实物进行教学，这样做的目的不是只停留在这一水平层次上，而是为了帮助学生顺利地上一个更高水平层次。
　　(2)直觉水平。
　　简单地说。直觉=直观+想象。它可作预测性的认识，但其准确性较差。不同年级的学生都能不同程度地表现出此种层次水平。
　　比如。学生数感的培养在中低年级都有一定的要求，就如何让学生感受大数的意义并进行估计。无论是要求低年级结合现实素材，还是中年级结合现实情境来进行，学生可能更多的是凭直觉。又如，教学“平行和相交”(四上)，学生对“平行线”的认识，既要有直观又要有一定的想象(此时学生头脑中已有平行线的实例，如一组平行的电线，但不能认为这是学生已有的经验，因为学生并未经历过电线的拉排与平行测量。这里只是学生观察与想象中的“平行”)，这时的认识水平就是直觉水平。
　　(3)经验水平。
　　经验中一种实践知识。简单说就是。经验=经历事实(信息)+直觉，这样认识事物比仅凭直觉的准确性更强。不同的数学学习内容，要求学生要有相应的活动经验。
　　如教学“时、分、秒”(二上)，学生必须要结合自己生活中有关钟表认识的经验来进行。这就是说学生的数学 活动水平此时处在经验水平。又如教学“统计与可能性”(二上)，学生有一定的此方面的生活经验，如知道天阴时下雨的可能性要比天晴时下雨的可能性大等。诸如此类的生活或学习经验。对学习该新知识虽有一定的帮助。但是较模糊的。这就要求教师还应该要创造一定的课堂现场学习情境(如创设摸球活动)，作为数学学习活动的补充，帮助学生获得学习新知必备的数学活动经验，这样的数学活动教学是符合学生所处的经验水平层次要求的。
　　(4)知识经验水平。
　　知识是前人经验的整理与升华。因而更为可靠。处于这一层次水平的学生，进行数学学习时都必须要有足够的知识和经验。
　　如教学“认识分数”(三下)，要求学生既要有认识一个物体(图形)的几分之一或几分之几的知识基础，又必须具有一定的多个物体的平均分(结果是整数)经验，在这里学生已有的经验与知识必须有机结合才能学好新知。
　　(5)逻辑水平。
　　处于此层次水平的学生，应该能够(或说应该能达到)依据概念、规则(法则、公式、定律等)和相关程序步骤，通过逻辑推理得出科学结论，这是仅凭经验、观察得不到的事实。中高年级(尤其是高年级)学生的数学活动通常应该能达到此水平层次，这一水平层次上学生的认识达到更深层、更抽象的地步。这时的认识属于实证论范畴。但是需要说明的是，在这一水平层次上虽然要加强学生逻辑思维能力的培养，但由于受知识、年龄等诸多因素影响。许多数学问题小学生还不能给出严格的证明，因此，在小学阶段学生逻辑思维能力的培养还只是初步的，许多数学问题的解决有时更多地依赖于合情推理。
　　如教学“正方形的认识”(三上)时，不能单纯停留在测量、对折等操作层面上得出正方形的特征，而应基于长方形已有的特征，通过操作(测量、对折等)得出正方形邻边相等，再结合正方形(特殊长方形)也应有“两组对边分别相等”这一特征。推出正方形的“四条边都相等”这一特征。这里，数学活动的教学并非仅凭学生已有的经验知识，而是在学生已有的知识经验基础上作进一步简单的逻辑推理，当然这种推理(合情推理)还只是初步的，因为学生毕竟还不能给出严格的证明。
　　(6)方法论水平。
　　当一般认识论与实证论经升华成为思想方法、思维工具和思维观念时即成为方法论，具有此水平层次的学生能够更广泛、更深刻、更抽象地认识世界。数学思想方法也可归属于方法论的范畴。小学数学教学内容中虽然蕴含着丰富的数学思想方法。但由于小学生的数学活动水平还达不到方法论的认识水平，因此小学数学教学中。数学思想方法的教学虽重要但还处于渗透教学阶段。
　　比如。教学“圆的认识”(五下)时，我们曾设计出如下的“投石子”比赛活动：让8个小朋友分别位于长方形地的顶角、各边的中点向中心的篓子中投石子，谁投的多谁就获胜。通过引导学生讨论、思考，发现这种比赛对站在顶角的小朋友来说是不公平的，要做到比较公平，可将长方形地改为正方形地，进一步改为圆形地才能做到绝对公平，因为此时每个小朋友到篓子的距离都一样。最后通过多媒体课件演示随着参与“投石子”公平游戏人数的不断增加，最终(由无数个人)形成了一个圆，从而较自然地揭示了圆的本质特征(圆周上任一点到圆心的距离都相等)，这样的活动教学渗透了集合思想、极限思想。
　　上述6个水平层次中，(1)至(4)属于一般认识论阶段(层次)，也叫做思辨认识阶段，其特点在于凭直接的思维去认识对象。这样的认识范畴和深度自然是有限的；(5)属于实证论阶段(层次)，它比一般认识论更为实在、更为深刻、更能深入到直观和经验不可及的深度和广度，因而更为准确；(6)属于方法论阶段(层次)，它的特点是凭借“软”的思想方法去抽象地从而更为宽广、深邃地认识问题。
　　由上还可以看出。小学数学活动水平的6个层次并非严格地与小学生的年龄、学习年级层次相对应。而是由学生的年龄特征、数学学习内容的难易程度、学生已有的知识经验等因素共同决定的。认识到这一点。才能在数学教学中视具体教学内容和学生实际，准确确定学生已有水平层次和可应达到的水平层次，以便采取相应的有效教学策略。
　　
　　二、对当前有效开展小学数学活动教学的几点建议
　　
　　数学活动教学要想有效促进学生数学思维的发展，就应该精心设计有利于学生数学思维发展的各种数学活动，使学生通过数学活动和其他辅助活动实现自身认识、思维、个性等的形成和发展。对此，就当前小学数学活动的有效教学，提出如下几点建议：
　　
　　1　善于引起学生观念上的不平衡。
　　数学教学是思维教学，要注重数学活动过程教学，充分暴露学生的数学思维过程，以准确把握学生的真实思维水平，促使学生由感性认识到理性认识的转化，由不知到知的转化。注重数学活动过程教学。除了把学生组织到数学教学过程中来，让他们动手操作，讨论解疑，更重要的是教师要善于引起学生观念上的不平衡。做一个“理智的引路人”。这是由于学生的认知发展就是观念上的平衡状态不断遭到破坏。并又不断达到新的平衡状态的过程。因此。教师应当十分注意如何去引起学生观念上的不平衡。给学生充分暴露数学思维活动过程的机会。也即应当善于设定这样的环境。在其中。学生已有的知识和能力不足以解决所面临的问题(达到目标)，从而产生观念上的不平衡，能够较为清楚地看到自身已有知识的局限性，并努力通过新的学习活动达到新的、更高水平上的平衡。显然。从这样的角度去分析，除了提供正面(标准)的范例，还必须通过适当的质疑或反例(或变式)设计去引发出学生的“观念冲突”，并帮助学生将正确观念和错误观念进行比较，促其作出自觉的“选择”。
　　比如，教学过“梯形”的概念后，在出示几个梯形图形的正面(标准)范例和反例后，还应出示如下的变式图形(两腰“同向”)，让学生去辨析。这种充分全面的变式教学。能充分暴露学生已有的数学思维活动。并经过教师的有效教学引导，促使学生突破定势性的干扰，从具体到抽象概括的思维活动趋于完善。对“梯形”概念的理解进入更高的概括化程度。
　　
　　2　给学生提供可“再创造”的数学活动机会。
　　有效的数学活动教学要能激发学生主动质疑的内在动机。训练学生自我谈话或彼此之间互问老师要问的问题。即自己提问题：“我要写什么”、“我写给谁看的”、“我要解释什么”、“有什么步骤”、“别人能看得懂吗”。激发学生主动质疑的内在动机，一个行之有效的做法就是给学生提供可“再创造”的数学活动机会。正如著名数学教育家弗赖登塔尔(H.Freudenthal)所提出的：“数学教学的核心是学生的‘再创造’，这就是说，数学学习事实上就是这样的‘再创造’过程。我们在此并非是要机械地去重复历史中的‘原始创造’，而应根据自己的体验并用自己的思维方式重新去创造出有关的数学知识。”由于小学数学教材经过了教学法的加工，通常是用演绎的方 法把概念、公式、法则等内容互相联合起来成为一个统一体，这种形式在一定程度上颠倒了数学的实际发现过程。这就使得学生对知识的理解和抽象概括、逻辑推理等能力的表现处于暂时滞后状态。对此，教师应为学生创设合适的“再创造”情境，使学生经历数学活动(数学思维)的学习，了解数学结论背后的丰富事实，从而对数学概念、法则、公式、定律等数学结论的发生发展有充分的认识。
　　例如，教学“化分数为小数”(五下)时，出示如下教例：“把3/4、7/25、9/40、2/9、5/14化成小数(除不尽的保留三位小数)。”为学生创设如下的可“再创造”的数学活动：即通过“固定分母，改变分子”的学习活动，如将7/25、9/40(均可化为有限小数)分别改为11/25、13/40(仍都可化为有限小数)，使学生认识到一个分数能否化成有限小数与分子无关(暂时结论)；接着通过“固定分子，改变分母”的学习活动，如将。3/4(可化为有限小数)、5/14(不能化为有限小数)分别改为3/7(不能化为有限小数)、5/8(能化为有限小数)，使学生认识到一个分数能否化成有限小数一定与分母有关(暂时结论)。在此基础上，学生探索得出一个分数能化成有限(无限)小数应具备的条件。但由于学生所得结论与教学目标仍有一定的差距(结论中缺少“最简分数”这个条件)，因此可以让学生思考“3/15的分母含有2、5以外的质因数3，却能化成有限小数，这是为什么”，这一问题打破了学生刚刚建立起的“知识结构”(分母只含有质因数2或5的分数能化成有限小数，否则不能化成有限小数)，既为下面进一步学习“分数的基本性质”埋下了伏笔。又使学生受到了“运动、变化、发展”的辩证唯物主义观点的启蒙教育，(在后续学习中)认识到“最简分数”这一条件的重要性，使学生在知识上逐步逐层地达到了终极目标。
　　
　　3　向学生提供挑战性认知任务。
　　根据维果茨基的“最近发展区”理论，为了确保数学活动教学的有效性，数学教学应该向学生提供挑战性认知任务。挑战性认知任务是指那些稍微超出学生能力、但在专家的帮助下可以完成的任务，即处在最近发展区内。与学生的能力形成了一种积极的不匹配状态。维果茨基认为，教学要重视学生“学习的最佳期限”，不应盲目拔高和迟滞。以免错过“最近发展区”。这就要求教师在进行教学设计和教学时，必须要考虑学生现有的水平层次，所提供的教学内容或任务应该能给学生造成积极的认知冲突。
　　由此看来，数学教师在设计数学活动教学时，所选择的问题及安排的数学活动不但要适合于学生现有的数学思维水平，更应该要考虑到促进学生的数学思维向下一个数学思维阶段发展，即要考虑到学生数学思维能力水平的限制，又要考虑到数学思维发展的潜力。从而，加强学生对整理知识和重组知识能力的培养。使学生能从知识材料间的问题和矛盾中不断探索发现和解决问题。实现认识的深化和发展。
　　比如，教学“小数乘法”(五上)时，在学生已基本掌握小数乘法计算法则后。可设计如下的开放题：“根据积的小数位置。在因数上点上小数点，使算式724×303与积219.372相等。”虽然积的小数点已定位，但因数是几位小数会有多种情况，具体可以让学生充分进行数学活动与交流，充分地发挥想象，作出多种不同的解答。这样的教学符合维果茨基的“最近发展区”理论。有助于促进学生的数学活动水平由“知识经验层次”上升为“逻辑层次”。
　　
　　4　帮助学生正确表征数学问题。
　　要促进学生的数学活动水平上层次。就必须要帮助学生正确表征数学问题。一方面，数学活动教学必须要重视3个关键要素：问题、语言和方法。问题。要与学生现实水平相符但又要高于学生实际水平。且学生经过教师的引导和自己努力又能解决问题(最近发展区理论)；语言，要重视加强对学生的数学语言表达能力的培养；方法，要注意问题高于学生实际水平时，如何引导学生采取有效的数学方法来解决问题。另一方面，必须要训练学生陈述自己的假设及步骤，引导学生用所学知识解释所要解决的问题，培养学生从引述别人的言语到自行思考表达，特别要重视数学语言(文字、符号、图形等)表达能力的培养，促进学生自我强化，加深对数学知识的理解。
　　不过，有必要指出的是，这里的问题具有相对性。同一个问题，对有的学生来说可能不构成问题；相反，一般人认为不成问题的问题，对有的学生来讲，有时反而倒构成问题。这就要求教师开展数学活动教学时，要重视帮助学生消除影响数学活动效果的因素(如背景知识经验、智慧水平、认知特性、动机强度、气质性格等)，以有助于学生正确地表征数学问题。
　　
　　5　引导学生“数学地思维”。
　　为了有效地引导学生“数学地思维”。教师在数学活动教学中的主要任务应当是教会学生数学地看、数学地想、数学地做。教会学生数学地看，主要指的就是观察；数学地想。就是要在引导学生数学地观察事物的基础上，提出数学问题，建立相应的数学模型，从而找到解决问题的途径和方法，并获得广泛的数学活动经验；数学地做，就是要培养学生应用数学的意识和应用数学的能力。
　　鉴于小学生的逻辑水平还只是处于初步水平。因此，为了引导学生“数学地思维”，有效的教学方法之一就是开展“合情推理”或“常识推理”教学。合情推理的基本格式是，首先给出一个猜想，然后通过种种方式找出理由去证实(或证明，至少要说明)增强或否定其猜想的合理性。通常一个数学结论之得来。最初往往都要经过这样一个合情推理的过程，这就是著名数学教育家波利亚所说的名言“数学是猜出来的”原理所在。合情推理有时虽不能得到数学的最终结论，但却是数学发现的前期过程。
　　比如，教学“平行四边形”(四下)时，虽然学生的数学活动水平(相对于此问题)基本处于第四层次(知识经验水平)，但可以通过操作教学，引导学生进行如下的合情推理。使学生解决问题的思维水平尽可能上升到“第五层次”(逻辑水平)上。具体做法是，给学生一组不同类型、不同大小的平行四边形。引导学生探索发现“两组对边分别平行”、“两组对边分别相等”、“两组对角分别相等”、“两组邻角的和都是180°等许多重要性质，再通过操作(测量、对折、平移等)、交流与讨论，使学生进一步发现这些性质之间的逻辑联系。在此基础进行逻辑组织，最终发现其中一个“基本性质”可以“推出”(合情推理)其他部分或全部性质(这里不同的学生会选择不同的“基本性质”)。显然，这样的数学活动教学，虽没有进行严格的逻辑论证，但却抓住了平行四边形概念内涵的本质，而且还能使学生领悟到“学会定义”这种数学活动。
　　要引导学生“数学地思维”，还必须要重视对学生的“体验性教育”，回归尊重学生本性的追求，侧重使学生形成独立的问题意识和思考能力，培养学生的创新思维，促进学生理解能力和个性的健全发展。对学生进行数学“体验性教育”的目的，就是要促进学生数学思维“积极化”发展，这是当前数学活动教学应该值得重视的问题。为了确定学生是否能实现某种积极性的数学活动以及教师的数学教学活动应当是什么，必须要了解学生现有的真实思维水平以及必须要教给学生的数学活动水平，比较这两个水平的目的就是要把学生的数学活动水平提高到我们要教的水平。教师必须要明确什么时候提高或降低所要教的数学活动水平。以确保学生与教师的数学思维水平同步(平衡)甚至超前，为学生进行“数学地思维”创造良好的可能条件。