[一堂展示课的思考和改进] 工作思考及改进建议

　　前不久，我与几位骨干老师一起参与了一节初中数学展示课的试讲、讨论和展示的过程.在试讲后大家讨论并提出了一些思考，开课教师根据思考做出了改进.教材和内容：北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级下册第二章二次函数“结识抛物线”.
　　一、试讲过程及讨论思考
　　1.引入
　　拱形桥――工程师要设计建造一座拱桥，他们首先必须对地形和地质等因素进行综合考虑，再在图纸上按一定的比例画出设计图（如图）.其中一条粗体的曲线是拱桥的重要设计部分，它不但美观大方，而且是力学承重中的最佳设计.著名的赵州桥之所以能保存至今，也是由于这个重要部分设计.那么，设计师又是怎样设计出来的呢？若将其放在直角坐标系中，它可以用什么函数来刻画呢？
　　
　　【思考：让学生直观感受抛物线的大概形状，让学生体会到需要研究这类曲线问题，也为后面探索二次函数图像中如何连线做了铺垫，但是与二次函数的图像连结不够自然.】
　　2.探索二次函数y=-x2的图像
　　【思考：为何要先研究y=-x2的图像？学生可能会感觉比较突然.】
　　师：作函数图像的一般步骤是怎么样的？
　　生：列表、描点、作图.
　　【思考：学生在以前已经学过画一次函数、反比例函数的图像，因此可以通过复习引导，让学生先回顾探究函数图像的过程和方法，然后可以类比此过程和方法探究y=-x2的图像.】
　　师：先列出下表，然后再描点、连线，在连线时要求光滑地连结.（图略.）
　　 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
　　 y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
　　【思考：为何要这样取x？其实这也是探究画图的重要一步.】
　　师：这样得到了y=-x2的图像，我们把具有这样形状的曲线叫抛物线.
　　【思考：为何要以这种方式去连结？还有为何称它为抛物线？整个探究图像的过程和方法，可以让学生通过类比来得到y=-x2的图像.】
　　3.探索与发现（小组合作）
　　（1）你能描述图像的形状吗？
　　（2）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请仍然找出几对对称点.
　　（3）图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
　　（4）当x0呢？
　　（5）当x取什么值时，y的值最大？最大值是什么？你是如何知道的？
　　（6）开口方向？
　　师：你是怎么得到x=0时y的值最大？
　　生：我是从图像观察得到的.
　　师：上述特征我们可以通过看函数表达式来得到.
　　【思考：作出函数图像的目的是为了利用图像直观地探索发现函数的性质，而教师在此过程中更多地是借助多媒体的演示和函数代数式来证明或说明，这也不利于数形结合的渗透.另一方面，函数的性质需要学生去探索和发现，教师的6个问题已经将所要探索的性质细化地给出，学生只要按照问题的细化要求去找到即可，也不需要合作学习.其实由图像得到性质的方法在一次函数和反比例函数中都已经历过，可以引导学生运用类比思想采用同样的方法去探究和发现.】
　　师：二次函数y=x2的图像是什么形状？
　　【思考：从函数y=-x2的图像入手，再研究y=x2的图像，是因为前者的图像更接近生活中的诸多抛物线，学生更容易理解它的概念.通过一组变式训练，让学生理解函数图像与关系式的联系.】
　　（学生列表、描点、连线画出图像.）
　　x …-3-2 -10 123…
　　y=x2… …
　　
　　 1.形状：.
　　 2.开口方向: .
　　 3.顶点坐标：.
　　 4.称轴: .
　　 5.最大（小）值: .
　　 6.增减性：
　　 当x＜0时,；
　　 当x＞0时,.
　　
　　师：请将函数y=x2图像的特征填入上述表格.（学生一一填入.）
　　师：y=x2的图像与二次函数y=-x2的图像又有什么关系？
　　生：关于x轴对称.
　　【思考：与前面类似，这样的填空引导过于到位，由于y=x2的图像特征与y=-x2的图像特征非常相似，故可以由学生类比得到，更应该将两者特征列成表格有利于学生的比较，另外比较应该是多层次的.】
　　4.运用
　　（1）已知该图像上有两点（-3，y1），（-2，y2），则y1，y2的大小关系是 .
　　（2）已知该图像上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）且x1＞x2＞x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是 .
　　（3）正方形的边长为x，面积为y，试写出y关于x的函数关系式以及自变量的范围，并作出其图像.
　　（4）已知点A(1，a)在抛物线y=x2上，O为坐标原点.求A点的坐标；在抛物线上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形，且OA=OP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
　　【思考：上述问题是有关函数性质中的增减性顺用和逆用，一方面是性质的运用，另一方面通过图像的反复运用能够突出数形结合.但直接要求解决这些问题，难度相对较大.】
　　5.小结
　　作为二次函数图像及特征的第一堂课，它应该有许多的知识结构、方法、思想上的价值，在小结回顾中应该得到体现.
　　二、展示课的过程和点评
　　1.引入
　　情境问题（同上）展示.
　　师：情境问题中的粗体曲线是否对应一个函数解析式？前面我们学了二次函数的概念和表达式，按照学习一次函数和反比例函数的过程，接下来要学如何去研究？为什么？
　　生：应该是二次函数的图像，因为学了一次函数和反比例函数概念后，作出它们的图像，然后可以通过观察图像得到对应函数的性质，再可以运用性质解决更多问题.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　师：对，函数与图像是数与形的关系，它们可以通过相互转换达到互助，那么它们是通过什么来转换的呢？
　　生：通过直角坐标系.
　　师：对，那么今天我们就开始探究二次函数的图像.
　　【点评：通过有关一次函数和反比例函数问题引导，教师激活了学生原有认知中研究函数的过程与方法，即先有概念，然后是探究图像，再通过观察图像的特征得到函数的性质，最后运用解决问题；有了这样的前提，学生自然地类比探究一次函数和反比例函数的方法，想到需要探究二次函数的图像和特征，同时在此过程和方法中也作好了数形结合的铺垫.】
　　师：一般二次函数表达式为y2=ax2+bx+c，要探究这样的图像比较困难，怎么办？你能否类比探究一次函数图像的过程？
　　生：类比研究y=ax+b的图像，先研究y=kx，最先研究y=x和y=-x，那么自然想到要先去研究y=ax2的图像，而研究它们则可以先研究y=-x2、y=x2的图像.
　　【点评：教师恰当的问题引导，解决了为何要在这节课研究y=-x 、y=x 的图像问题，在此过程中渗透研究函数的从特殊到一般的方法，也将前后的课堂教学内容（从y=±x2到y=ax2再到y2=ax2+bx+c）相串联.】
　　2.探究作图，得到抛物线
　　师：y=-x2的图像是怎么样的？（列表、描点、作图.）
　　师：你是怎么想到的？
　　生：y=-x2的图像我们还不知道，应该与一次函数、反比例函数图像开始的画法一样的.
　　师：对，对于未知函数图像，我们通过取值、列表、描点、连线来得到.（学生同桌合作探究画图，教师巡视并找出学生典型画图.）
　　师：你是如何列表的？
　　生：为了比较全面地代表所有点，应该要取正、零、负.
　　 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
　　 y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
　　师：这样连线正确吗？（教师展示一位学生的线段连线方式.）
　　生：不对，应该要求光滑地连结.
　　师：（教师边展示后一位学生的画图）你为何这样连线？能说明理由吗？
　　生：开始时我也不很确定，后来我取了相邻两点的中间点得到不是线段连结的.
　　师：你们能否评价一下这幅作品.（展示另一学生的作图.）
　　生：挺光滑，但两端不出头是不正确的.
　　师：为什么？
　　生：由于x的取值两端是无限的.
　　师：这曲线像什么形状？
　　（多媒体演示：它像一个物体抛出后运行的轨迹，再演示投篮球的弧线，形如抛射时物体经过的路线，称它为抛物线.）
　　【点评：引导学生复习旧知，从方法上激活原有认知结构，勾画出探究函数图像的方法.从而自然引导学生通过同桌合作探究y=-x2的图像.通过对学生典型练习的评价，让学生理解画图中取值描点的代表性和表格中x取值的无限性.最后在教师的问题引导和多媒体辅助下学生能自然得出抛物线的名称.】
　　3.观察图像，发现特征，结识抛物线
　　师：抛物线有哪些特征呢？坐标系中的抛物线特征如何去刻划呢？
　　师：一次函数和反比例函数图像的特征有哪些方面？那么如何去探究抛物线呢？
　　生：它是轴对称图形，在坐标系下的上述图形中，就是关于y轴对称.
　　师：对，找到了图像的对称轴.
　　生：x轴下方都在第三、四象限内，顶点除外.
　　师：对，这就是图像的位置.
　　生：x＜0（对称轴左侧），y随x增大而增大；x＞0（对称轴右侧），y随x增大而减小.
　　师：这是图像的增减性.还有其他的特征呢？抛物线还有哪些要素？
　　生：噢，顶点和开口方向.
　　生：顶点在原点，开口方向向下，而且两端无限伸展.（教师板书，将特征一一列出，如图表格.）
　　 y=-x2
　　顶点
　　对称轴
　　位置
　　开口方向
　　增减性
　　最值
　　【点评：学生通过观察图像探究发现抛物线特征的过程也是学生结识抛物线的过程，由于抛物线的特征有较多的内容，所以教师安排了合作学习，也通过类比和抛物线的要素等方面给予了适当的引导，使学生的探究更能有针对性.将学生的探究结果板书成表格，一方面让对应抛物线特征一目了然，另一方面又为后面y=x2的图像特征得到及它们的特征比较做好了铺垫.】
　　师：如何画y=x2的图像？它的图像与y=-x2的图像有何异同呢？比较其中数据，可以发现什么？说一说二次函数y=x 的图像有何性质.
　　 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
　　 y=-x2… …
　　 y=x2 … …
　　（学生类比，根据观察图像方法得出y=x 的性质，然后一一填入表格.）
　　 y=-x2 y=x2
　　顶点
　　对称轴
　　位置
　　开口方向
　　增减性
　　最值
　　师：比较它们的不同特征.
　　生：它们轴对称，也是中心对称.
　　师：根据它们开口方向和位置的不同，你可以猜测一般的y=ax2吗？你是怎么得到的？
　　生：a＞0时开口向上,图像都在x轴的上方（除原点），a＜0时开口向上,图像都在x轴的上方（除原点）.从图中可以想象，通过函数表达式也可以得到y的正负情况.
　　【点评：通过两个图像的特征比较，有利于学生将图像特征与函数表达式相联系，后面的问题自然引导学生将方法拓展，为后面的 图像特征学习作好准备，同时也通过观察图像和从函数表达式中看出特征两种方法渗透数形结合的理念.】
　　4.运用
　　（1）对于y=x2，无论x取何值时，y 0, 对于y=-x2，无论x取何值时，y 0.①已知点A（1.5，a）在于y=x2的图像上，则a= ；若过A作y轴的垂线，交图像于另一点B，则点A与点B的关系是，AB的长度是 .②对于抛物线y=-x2一点A（2，），它关于y轴的对称点B（，）（在或不在）抛物线上.
　　【点评：通过问题（1），引导学生从数式和图形两种途径去巩固y=x2和y=-x2对应抛物线的正负、对称等特征，并学会初步运用.】
　　（2）对于y=x2，已知它的图像上有两点（x1，y1），（x2，y2）且x1＞x2＞0，则y1，y2的大小关系是______.
　　生：y1＞y2.
　　师：你是怎么得到的？
　　生：我是利用图像得到的.
　　师：如果去掉大于0的条件呢？
　　生：借助图像，应该要讨论的，分都正、都负、一正一负的3种情况讨论，其中一正一负好像比较困难的.
　　生2：不需要讨论的，根据图像关于y轴的对称性，只要比较横坐标离开零点的距离，距离越大则函数值越大，也就是比较|x1|与|x2|的大小，哪个大对应函数值也大.
　　师：很好，你是如何得出这样的比较办法的？
　　生2：我是利用了图像和上面的对称性特征.
　　 【点评：问题（2）是图像增减特征的运用，通过教师的两次追问，引导学生从分类讨论到运用数形结合和函数图像特征，避免了分类和简化过程，既熟练了特征的运用，又渗透了数学思想的运用.】
　　5.小结
　　师：在本节课中，我们学到了哪些知识？
　　生1：y=-x2、y=x2的图像和它们的特征，也就是认识了抛物线，还有这些特征的运用.
　　师：我们是如何探究得到这些知识的？
　　生2：我觉得一是类比已学的方法，抛物线图像的得到和特征的发现都是类比一次函数的方法，二是数与形的结合，通过数的运算才能画出图（比如连线不确定时则再通过取中间横坐标计算对应纵坐标得出），通过图形发现特征再用数可以证明，解决问题时可以从数和形两种途径去思考.
　　师：本节课的学习内容与前后有什么关系？
　　生3：这是一次函数后的又一类特殊函数，在二次函数中这是最基本的，有了它的图像和特征以及探究得到的方法，我们可以学习更多更一般的二次函数.
　　【点评：在上述回顾中，除知识的小结，又将新学内容纳入了函数结构线索中，也为后面的逐渐一般化的二次函数学习及至其他特殊函数学习作好了充分准备，还能引导学生重视学习研究函数内容的方法线索，更能突出数形结合、类比等数学思想.】
　　（作者单位：浙江省海盐县教研室）
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