关于Ｈｉｌｂｅｒｔ重级数定理的改进 函数项级数狄尼定理

　　摘要:本文利用改进了的Cauchy不等式对Hilbert型不等式进行了改进，建立了一些新的形如 　　 　　的不等式，其中。 　　关键词:Cauchy不等式；Hilbert不等式；权系数。
　　一、引言
　　设为实数列，使得，则有
　　（1）
　　这里，常数也是最佳值（见文献[1]）。
　　称（1）为Hilbert不等式，它在分析学及相关领域有重要的应用，其等价式是
　　 （2）
　　这里，常数也是最佳值。
　　近年来很多文献对Hilbert不等式作了有益的改进和推广，如[2]给出了Hilbert不等式的一种精确形式：
　　
　　
　　文[3]给出了Hilbert不等式如下推广与精化：
　　（3）
　　杨必成等（见文献[4]）亦作了如下加强：
　　（4）
　　本文的目的主要是建立一些新的不等式，它们是[3]与[4]中相应结果的改进。
　　二、引理及其证明
　　为了方便起见，首先介绍一些记号：
　　（5）
　　另外我们定义二次型：
　　
　　 （6）
　　再定义：
　　 （7）
　　， （8）
　　可以灵活选取，显然只要因此的选取要使成立。
　　引理1、：设是三个任意向量，如果
　　则
　　 （9）
　　其中R在（8）中已定义，式（9）中当且仅当向量是和 的线性组合，
　　且时等号成立。
　　证明：考虑到由向量建立的Gram矩阵性质，根据（7）我们可以得到
　　 （10）
　　（10）中当且仅当向量是和的线性组合时成立，由于向量和线性相关，因此（10）中等式成立当且仅当向量是和的线性组合。展开行列式并利用条件从（10）我们可得：
　　
　　其中已在（6）定义，利用条件（8）和题设条件，马上可以得到结果。实际上不等式（9）是Cauchy不等式的改进。
　　引理2、：下列权系数不等式为真：
　　 （11）
　　证明：因为
　　
　　
　　由文献[3]中引理2，我们可得
　　
　　引理3、：当时，分别定义权系数和权系数为
　　 （12）
　　 （13）
　　
　　
　　引理得证。
　　三、主要结果
　　为方便起见，需要再次定义一些函数并介绍一些符号：
　　（14）
　　
　　 （15）
　　
　　再由引理2得
　　
　　
　　下面讨论R的表达式，由（14）的，计算得，再由引理1得
　　
　　证毕
　　
　　
　　
　　则有
　　
　　其中（16）
　　
　　
　　
　　用类似于定理1的方法可得的表达式。
　　
　　注：
　　显然式（15）和（16）分别是（3）和（4）的改进。
　　
　　参考文献：
　　[1]杨必成.关于Hilbert不等式的一个推广应用[J]。信阳师范学院学报，2004。17（2）：154-158
　　[2]He Leping,Gao Mingzhe and Wei Shangrong ,ANote on Inequality [J].Mathematical
　　Inequalitions＆Applications.2003,6(2):283-288.Croatia.
　　[3] 杨必成.关于Hilbert不等式的一个加强及应用[J]。信阳师范学院学报，2002，15
　　[4]Yang Bicheng and Lokenath.Debnath.on a generalization of
　　Inequality[j].Jour.Pure Math,2002,19:1-11
　　[5]Bicheng Yang .Note on Integral Inequality[J].Math,A nal.Appl,1998,220:778-785
　　[6]Gao Mingzhe,Tan Li and L.Debnath.Some. Improvements on Integral
　　Inequality[j]Math.Anal.Appl.199.229:682-689
　　[7]沈家梅，贺乐平，高雪梅等，关于Widder定理的推广[J]。数学研究，2004，37（1）78-72
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