[小波对信号的去噪与去奇异点方法研究]小波信号去噪论文
摘 要：小波变换作为信号处理的一种手段，是时频分析的一种重要方法，被称为信号分析的“数学显微镜”。通过小波分解和重构，可以对地震信号去噪和去奇异点。通过Matlab的实验模拟，比较小波和傅里叶变换去噪和去奇异点的效果，可以看到小波的优势很明显。
关键词：小波变换 去噪 去奇异点 傅里叶变换
中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）007-140-02
在地震勘探的过程中，由于地震勘探本身的复杂性，在接受和激发的各个过程中都不可避免的要出现随机噪声的干扰，会使信号发生畸变甚至淹没在噪声当中，这不利于后期的解释工作，对地震剖面的解释带来干扰和影响。
在地震信号处理中，反射波的主频一般在30Hz-50Hz之间，而干扰一般频率较高，根据频率的不同，我们可以把有效波和干扰波基本分开。傅里叶变换可将信号分成不同振幅，相位，频率的波形的叠加，可在频率域上将有效波和高频噪声基本分开，进行滤波达到去噪的目的。小波变换具有良好的时频特性，可以对地震信号在不同尺度下分解，对各个分解尺度下的高频系数进行阈值量化，最后通过小波重构实现去噪。本文将通过模拟实验对比傅里叶变换和小波变换的去噪功能。同样的道理，小波分析可以检测信号中的奇异点并消除，在电力工业中，可以进行传感器的故障检测。
1 小波变换去噪
一般的含噪信号x(t)可以这样表示
（1）
其中， x为含噪信号， s为有效信号，n 为噪音。所谓的去噪，就是从含噪信号x 中去除噪音n ，从而恢复有效信号 s。
在这里，我们用一个最简单的噪声模型来加以说明，即认为x(t)为高斯白噪声N(0，1)，噪声级(noiselevel)为1。在实际的信号中，有用信号通常表现为低频部分或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号，故含噪信号消噪过程可按如下方法进行：首先对信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频成分中，可以以门限阈值等形式对小波系数进行处理，然后对信号进行重构，便可达到消噪目的。
一般来说，含噪信号的消噪过程大致可分为以下三个步骤：
（1）含噪信号的小波分解。即选择一个小波并确定小波分解的层数N；
（2）小波分解高频系数的阈值量化。对从第1层到第N层的每一层高频系数，选择一个阈值进行阈值量化处理；
（3）小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N层的高频系数，进行信号的小波重构。
在这三个步骤之中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化，从某种程度上说，它直接关系到信号消噪的质量。
2 傅里叶变换与小波变换在去噪的实验模拟比较
传统的傅里叶变换在频率域对信号进行分析，而在时间域没有分辨率。噪声一般集中在高频部分，所以可用低通滤波器对信号进行滤波，若低通滤波器太窄，则将滤除部分有用信号，若低通滤波器太宽，则不能去除所有噪声信号。小波变换有良好的时频特性，在频率域和时间域的分辨率可调节，所以能有效地识别噪音，从而去除噪音。
首先采用傅里叶变换对信号进行去噪处理。原信号的噪声信号主要为高频，有效信号主要为低频。(a)为宽度为10的低通滤波器滤除噪音之后的信号与原信号的对比图，信号能量为原信号的14.95%，标准差为85.6824；(b)为宽度为20的低通滤波器滤除噪音之后的信号与原信号的对比图，信号能量为原信号的17.56%，标准差为77.6332。（图1中的黑色线条为原始信号，红色线条为去噪后的信号）
下面利用小波变换进行地震信号的去噪处理。将地震信号利用dmey小波基5次分解到不同尺度上，然后将高频噪声去除，去噪后的信号与原信号的对比图如图2，信号能量为原信号的89.99%，标准差为34.3987。（图2中黑色线条为原始信号，红色线条为去噪后的信号）
由模拟实验可得，小波去噪能保留较多的能量，能保留90%左右的能量，与原信号的标准差较小，滤掉的基本上为噪声干扰，而FFT只保留了不到20%的能量，损失的有效信号较多。
3 傅里叶变换与小波变换去奇异点的实验模拟比较
首先利用傅里叶变换去奇异点，原信号如图3中黑色线条所示，可以看出在t=1193和1215处存在奇异点，奇异点处一般为高频处，去除方法与去噪方法基本一样。(a)为带宽为10的低通滤波器滤波后的信号与原信号的对比图，(b)为带宽为20的低通滤波器滤波后的信号与原信号的对比图。
利用小波分解重构不仅可以达到去除随机噪声的目的，同样可以去除奇异点。利用db3对信号进行5层分解，发现奇异点包含在d1和d2中。为了消除奇异点，令d1、d2和d3都等于0，得到信号的波形为(c)，与原信号比较发现，奇异点已经基本消除。
由模拟实验可得，小波去噪能保留较多的能量，能保留90%左右的能量，与原信号的标准差较小，滤掉的基本上为噪声干扰，而FFT只保留了不到20%的能量，损失的有效信号较多。
3 傅里叶变换与小波变换去奇异点的实验模拟比较
首先利用傅里叶变换去奇异点，原信号如图3中黑色线条所示，可以看出在t=1193和1215处存在奇异点，奇异点处一般为高频处，去除方法与去噪方法基本一样。(a)为带宽为10的低通滤波器滤波后的信号与原信号的对比图，(b)为带宽为20的低通滤波器滤波后的信号与原信号的对比图。
利用小波分解重构不仅可以达到去除随机噪声的目的，同样可以去除奇异点。利用db3对信号进行5层分解，发现奇异点包含在d1和d2中。为了消除奇异点，令d1、d2和d3都等于0，得到信号的波形为(c)，与原信号比较发现，奇异点已经基本消除。
由模拟实验结果可知，小波变换在去除奇异点方面能达到很好的效果，基本上只去除了奇异点，没有影响其他频率的信号。FFT滤波也能减小信号中奇异点的成分，但是残留部分奇异点信号成分，同时也去除了部分低频信号成分，较小波变换来看，效果差一些。
4 结束语
通过以上的模拟实验可以看出，小波变换在去噪和去奇异点方面，能达到较好的效果。FFT虽然能通过滤波去噪和去奇异点，但是信号能量损失较大，高频成分有残留，低频有效成分也被部分滤掉。相比之下，小波变换通过分解和重构，在多尺度上对原信号进行处理，方法灵活，达到的效果比FFT好。
参考文献：
[1] 孔祥茜,吴继伟,岳继光.地震信号小波变换的去噪方法[J].计算机辅助工程学报,2005(03).
[2] 葛哲学,陈仲生.Matlab时频分析技术及其应用[M].北京:人民邮电出版社,2006.
[3] 曹松.小波变换在信号去噪中应用[J].电子测量技术,2002(03).