【“说题”――让数学课堂更精彩】能力+让数学课堂更精彩

　　摘 要:教会学生“数学思维”应该说是数学教学的根本目的,但是怎样做才能体现这一目的呢?笔者结合亲身教学实践,从说题这个角度,以两种常见的课型为案例,展示了一节数学课堂活动,并以此促成数学教学改革.
　　关键词:说题;数学教学;数学思维
　　
　　■问题提出
　　弗赖登塔尔曾提出:学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西通过自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造,而不是把现成的知识灌输给学生. 所以,在数学教学活动中,必须重视学生探索新知的经历和获得新知的体验,只有重视过程的教学,“展示背景、挖掘本质、暴露思维、推迟判断”,才能使学生体会到数学是活动的、动态的、开放的,才可以使数学结论生动、鲜活、充实,成为可以理解、易于接受的东西,便于同化或顺应于学生已经形成或正在形成的认知结构,成为学生的真知而实现有意义的学习.
　　
　　■什么是“说题”
　　说题,就是在学生经过认真、仔细、严谨的审题,在充分思考的基础上,让学生说清题意,说出解题思路和解题过程,说出问题的拓展和延伸,说出解题后的感想等. “说题”教学与传统习题教学的最大区别在于课堂上的主角是学生,而不是教师,变教师的“一言堂”为学生的“群言堂”,改变了学生听教师讲的被动的学习局面.
　　
　　■常见课型的“说题尝试”
　　1. 命题教学――说“产生过程”
　　在高中数学中,数学命题是数学知识的主体,是数学推理的要素和数学证明的依据,是学生数学学习的核心内容之一,也是数学教学的重要组成部分. 有些数学命题(如公式、定理、公理等)本身可以看成一个蕴涵着很多数学思想和数学方法的典型例题. 在教学中,教师不能只关注结果,还应挖掘教材之间的内在联系,发挥数学知识的教育教学功能. 对于此类知识的教学,教师可以让学生各抒己见,大说“命题的获得过程”. 学生亲自参与发现困惑的情景、尝试的过程,经历探索过程的磨砺,汲取更多的思维营养,加深对数学知识的理解,掌握数学知识的应用,提高解题能力.
　　(1)案例等比数列的前n项和公式?摇
　　内容人教版A必修模块《数学5》等比数列前n项和公式.
　　教师现在我们来探求等比数列{an｝前n项和的公式,即Sn=a1+a2+…+an的结果,也就是要求用a1,q,n或a1,an,q来表式Sn(明确学生说题的方向).
　　学生1利用等比数列的通项公式可得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.
　　教师思路很对,已经做到探求的要求了,但式子显得比较冗长,还应该化简,这正是我们讨论的对象.
　　学生对上述式子的化简并没有太多的经验,教师此时提示可以“从最简单的开始”. 过了一会儿,就有几个学生发表意见.
　　教师你是如何想到的?能猜想一下一般性的结论吗?
　　还没有等这位学生说完,教室里就有人窃窃私语,表示对结论的不完全同意,教师从中选了一个代表.
　　学生3刚才这位同学说的不完全对,如q=1就不可以,他说的是q≠1的情形.
　　教师q=1时又如何?
　　学生3当q=1时,Sn=na1.
　　各自谈谈自己的看法.
　　在教师的引导下,全班同学互相补充和提示,过了片刻.
　　学生4利用乘法公式(1-q)(1+q+q2+…+qn-1)=1-qn,这是n=2,3时的推广公式,容易验证.
　　学生5利用Sn=a1+q(a1+a1q…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+qSn-qan,
　　教师很好,你看到了Sn=Sn-1+an这一层关系,其他同学还有其他办法吗?
　　学生6可以将n-1个式子a2=a1q,a3=a2q,…,an=an-1q相加,得到a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)q,即Sn-教师这位同学借鉴了学生5的方法,用了累加得到了Sn的表达式,但本质跟学生5的方法是一样的.
　　此时,课堂已经异常活跃,很多学生在绞尽脑汁,想另辟蹊径,找出更好的办法.
　　教师很好,虽说实质与上两位同学相同,但变形的技巧更灵活了,值得肯定.
　　很高啊,妙!
　　,将以上n式相加即可得到Sn的公式了.
　　教师精彩!这是利用了数列求和中的“裂项相消法”.
　　(2)教学反思
　　在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做使得活的数学知识变成了一堆毫无意义的符号和难以记忆的公式、法则,使数学发现、数学探索中“火热的思考”被淹没,学生获得的知识犹如无源之水、无根之木. 因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍. 同时,形成繁难的情境激起了学生的求知欲,引导学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔.
　　2. 例题教学――说“数学本质”
　　数学例题和习题的教学是数学解题教学的重要组成部分. 例题是为引入新知识、做解题示范、加深理解和初步应用、提高能力而设计的题目,它体现教材的深度和广度、体现对学生掌握知识的要求. 课本例题的最大特点是针对性强,基础性强,但大多数课本例题是一题一问、一题一解,给学生的思维空间较小. 尽管和老教材相比,新教材在部分例题解答后面安排了“思考”这个环节,对例题进行了一些挖掘,但大多数例题仍缺乏纵向和横向的引申. 如何让学生在解题时,将题目说透、说出自己的解题思维、说出问题本质、说出新旧知识的有效联接就变成例题“说题”教学中重点要做的文章了.
　　(1)一道课本例题的教学设计
　　内容人教版A选修模块《数学2-1》P71例6.
　　已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k. 试问k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有1个公共点,有2个公共点,没有公共点?
　　教师解析几何的本质就是用代数的方法解决几何问题. 因此,分析本题时,首先应该作出相应的图形. (培养学生良好的解题习惯,为下面的教学做文章,过了一分钟,学生作图完毕,教师在学生回答的基础上在黑板上作出图形.)
　　教师在这个问题中,有三个几何要素,点P,直线l和抛物线y2=4x. 其中,点P与抛物线y2=4x有何关系?
　　学生点P在抛物线y2=4x开口之外.
　　教师请同学们分析直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点时的位置关系是如何的.
　　学生1直线l与抛物线y2=4x相切.
　　教师(利用几何画板在课件中进行演示)一共有几条?
　　学生12条(迟疑片刻),应该是3条.
　　教师为什么?
　　学生1当直线l与x轴平行时.
　　教师这算是直线l与抛物线y2=4x相切吗?
　　学生1应该不算.
　　教师看来直线与抛物线有一个交点,不只是相切这一情形,还应考虑直线与抛物线的对称轴平行的情形. 直线l与抛物线y2=4x没有公共点、两个公共点时的位置关系又是如何呢?
　　(教师结合学生的回答在几何画板中作了演示(此处略))
　　教师刚才我们讨论直线l与抛物线y2=4x没有公共点、有1个公共点、2个公共点的几何特征,如何用代数的方法解决呢?
　　学生2可以将直线l的方程y-1=k(x+2)与抛物线y2=4x联立成方程组,消去x,得ky2-4y+4(2k+1)=0.?摇①
　　利用方程①的根的判别式Δ=-16(2k2+k-1)即可求出直线l与抛物线y2=4x没有公共点、有1个公共点、2个公共点时k的取值范围.
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　　学生3不对,直线l与抛物线y2=4x有一个公共点应该有三种情形,还有一种是k=0,而直线l与抛物线y2=4x有两个公共点时,应不包含k=0这一情形.
　　教师很好,你能指出学生2忽视了对k=0情形的讨论的根源在哪吗?
　　学生3方程①不一定是一元二次方程,当k=0时,方程①是一元一次方程,方程只有1个根,此时恰是直线与抛物线对称轴平行的情形.
　　教师漂亮!这位同学找出了为什么直线l与抛物线y2=4x有一个公共点的代数源由,用判别式判断根的个数时,一定要注意前提应该是一元二次方程.
　　(此时学生思路已打开,很快全班同学完成了这个问题. )
　　教师这题告诉我们经过点P有3条直线与抛物线y2=4x有1个公共点,是不是经过平面上任意一点都有3条直线与抛物线y2=4x有1个公共点呢?
　　学生4不一定. 当点P在抛物线开口之外时,有3条,2条切线和1条斜率为0的直线;当点P在抛物线上时,有2条,1条切线和1条斜率为0的直线;当点P在抛物线开口之内时,只有1条斜率为0的直线.
　　(教师引导学生总结直线与抛物线有一个交点的一般结论(略),并在课件上展示如下练习.)
　　若直线y=kx-k+2与抛物线y2=2px(p>0)恒有公共点,求p的最小值.
　　(学生有了刚才的分析经验,饶有兴趣地对此题进行了讨论,约过了2分钟)
　　学生5我还是利用判别式进行讨论,将直线方程和抛物线方程联立,消去x化简得
　　k2x2-2(k2-2k+p)x+(k2-4k+4)=0.?摇(*)
　　若使直线y=kx-k+2与抛物线y2=2px(p>0)恒有公共点,则方程(*)的判别式Δ1=4(k2-2k+p)2-4k2(k2-4k+4)=4(2pk2-4pk+p2)≥0恒成立,故方程2pk2-4pk+p2=0的判别式Δ2=16p2-8p3≤0?圯p≥2,即p的最小值为2.
　　教师很好,学生5两次利用方程的思想求出了p的最小值,分析问题很有深度.
　　学生6老师,这样做太麻烦了,我有一种简便的方法,因为直线y=kx-k+2经过定点P(1,2)点,要使经过该点的直线与已知抛物线恒有公共点的话,也就是说这一点必定在抛物线的开口之内或抛物线上.
　　(此时,全班学生被这精彩的解法折服了,全班静了一会儿,又动了起来,教师评价.)
　　教师两位同学都抓住了问题的本质,学生5是从代数的本质方程组恒有解的角度入手,而学生6则是从几何的本质,即点与抛物线的几何位置入手. 两种思维正说明了解析几何是数与形的结合体,这也正是数形结合思想的本质所在. 同学们可以在课后对该例题题设和条件再加工,看看还可以编出哪些题目.
　　(2)教学反思
　　课本例题一般都具有典型性、示范性和关联性,它们或渗透着某些数学方法,或体现了某种数学思想,或提供某种重要结论. 教学时,教师如果忽视学生学习掌握知识的基本环节,急于讲应用、盲目讲应用,不分析、不研究数学知识的本质,重形式、重一招一式的机巧,不利于发散性思维的培养,不利于求异思维和创新能力的培养,同样也不利于知识的融会贯通和综合解题能力的提高. 教师可以引导学生从题目的根源、条件、结论和解题方法等方面进行说题,通过追本溯源、一题多变、一题多解等教学方式,让学生充分认识例题本身所蕴涵的教育价值,学会怎样进行数学思维,怎样运用数学知识进行思考、解题,如何表述自己的解题过程等等.
　　
　　■结束语
　　思维素质和心理素质是素质教育的重要内涵,教会学生“数学思维”始终是数学教学的主题. 在数学教学中,我们不应该把学生看成题目的奴隶,而应当把题目看成载体. 为了更好地揭示数学概念、法则,结论的发生、发展过程和本质,课堂中适当地进行说题活动,能够使学生在教学行为实施过程中,主动参与思考,在积极的探索中让学生不仅仅学会“写”数学、“做”数学,而且善于“说”数学,让他们自觉地尝试失败和体验成功,充分挖掘学生的潜能,增加师生的交流与对话,扩大解题教学的交互性,进一步给学生展示的空间和时间. 说题教学倡导积极主动、勇于探索的学习方式,它不但改进了学生的学习方式,也是教师教学方式的一种改革,用“说题”的方式组织教学,课堂效率高,学生学习效果好,课堂也会更精彩.
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