【培养创新思维　审视数学新课程】数学的创新思维方式有哪些

　　广东虎门外语学校523900 　　 　　摘要：现代数学教育应是发展和完善人的教育活动，提高人的数学创新思维能力是这种教育活动最重要的任务. 高中数学教育更应重视培养学生的创新思维，根据教学内容、学生情况，采取恰当的教学方式、方法，培养良好的反思习惯、反思性思维能力、变式思维能力等等.
　　关键词：新课程；数学创新思维；反思；变式思维
　　
　　产生于奴隶社会的学校在相当长一段时期是仅为统治阶级服务的，其功能是传授生产劳动技术. 随着人数社会的发展和人类文明的进步，学校的功能也随之演变为“育人”和传授知识相结合，并主要以“知识”为载体“育人”，最终培育出大量独具创新思维和创新能力的人. 其中，数学创新思维的培养是数学教育的重要任务. 笔者现就从以下三个方面作简要阐述.
　　
　　1. 恰当的教学方式、方法有助于数学创新思维的发展
　　《高中数学课程标准》强调：“有效的学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索，合作交流是重要的学习方式.” 讲授教学、接受式学习在现代课程改革大潮中，已被许多“追求创新”的“教育专家”视为一种落后的教学方式，其实，讲授教学、接受式学习并非满堂灌的填鸭式教学. 对于这种数学教育的“新潮流”，我们不能盲从，不能成为赶潮流的“追新族”，要保持清醒的头脑，积极研究古今中外的教育思想、教育理论、教育教学方法，以科学的态度多做教育实验，提高自己的教育研究水平和教育素质，要能对许多教育现象作客观、理性的分析，深入研究不同的教学内容、受教育的对象、教育支持环境与条件等等. 具体问题具体分析，采取最优化的教学方式与教学方法，因材施教，我们绝不能为追求“时髦”而放弃数学教育的本质，为改革而改革. 实际上，笔者与许多数学教师都经历了许多实验和感受，有效地教学方法只能是教师讲解（特别是启发式讲解）与学生有效探索相结合. 当然，不是说每一个教学内容都要这样做，比如数学概念的定义、某些为数学（或其他科学）的研究与发展所作的规定（约定）等，就不必让学生去探究.
　　数学教育的主要目的应在于培养善于思维、善于创新的人才. 在高中数学教育中，我们应通过对数学概念、数学原理、数学思想方法、具体问题的教学，研究最优化的教学方法，让学生形成良好的学习心理. 这就要求教师采取一些有特色的教学方法，比如：
　　（1）“语言激励法”（教师用能激发学生产生思维动机或思考冲动的词语，向学生提问或与学生进行数学交流，如“假如……”“比较一下”“类比……，你会发现……”“由此，你能联想到……”“反之，又会如何？”“你能推广吗？”等等）；（2）“体验学习教学法”（教师向学生提供一个适合学习体验的环境，让学生亲身经历、模仿或剪取某个生活片段，并让学生担任一定的角色开展学习活动）；（3）“留空教学法”（教师在教学过程中不把全部教学内容和盘托出，而是有意在内容的适当地方制造适合学生学习的空白地带，让学生自己推测或猜想可能的结果）；（4）“挫折演练教学法”（教师把自己当成一个学生，模仿学生思考问题的方式或角度，有意“制造”出思维受阻的现象，让学生经历若干次挫折后，克服思维上的障碍）；（5）“潜学教学法”（教师在课堂上当面向学生展示自己或其他研究者探讨疑难问题或尚未定论问题的过程、方式、方法，让学生看到创新思维的过程）.
　　
　　2. 培养反思习惯、反思能力，促进数学创新思维的发展.
　　一般，反思是指思维主体思考过去或已做过的事情，从中总结经验，吸取教训. 它是数学思维活动的核心和动力，也是数学思维的一种重要形式. 高中数学教学的一个重要目的是培养学生的思维，提高人的素质，而现在的高中生反思意识淡薄、反思方法欠缺、反思能力较差，可见，更应在教学中教会学生反思.
　　反思意识主要是指思维主体对已完成事件的心理活动倾向，反思方法是指思维主体完成反思活动采取的具体策略或途径，反思能力是指思维主体对反思对象执行反思活动时表现出来的个性心理特征.
　　当然，反思意识较强的思维主体会积极选取较恰当的反思方，对某一对象进行反思性思维活动，并经常进行. 这样做会使反思能力得到提高. 学生反思能力的提高，直接影响到数学素质的提高，影响到创新思维、创新能力的发展.
　　反思可以给思维主体足够的思考空间，从中尽情地展开联想、发表独到的见解，有利于创新思维的发展. 培养学生的反思意识、反思方法、反思能力，可以有多种途径，没有固定的模式. 经一些学者（比如西北师范大学的张定强）实验研究，主要是将教师示范反思与学生示范反思结合起来，相互交流，促进学生反思. 通过编拟一些问题，激发学生的数学思维，对某些数学概念、数学原理、数学命题等进行反思，以便得出新的命题、新的解法、新的结论等等. 譬如，学完“角的概念的推广”后，可抛出问题：试探讨正角、负角、钝角、锐角、直角、终边相同的角、象限角这些概念的关系；学习了“三角函数”及“三角恒等变换”后又可拟出问题：六组诱导公式同两角和与差的三角函数的九个公式之间有何区别、联系；学了“平面向量”后，为了让学生更好的掌握向量，可问：怎样理解平面向量与有向线段这两个概念？
　　在教授高中数学新课程时，引导学生对教科书上的命题、例题的证法、解法进行反思，可发现更“好”的方法.
　　人教社A版必修4（2007年2月第二版）第99页例8：设点P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）. （1）略；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
　　教科书上的解法未能体现本节的重点知识和方法（本节的重点是平面向量共线的坐标表示），引导学生反思其解法，发现了以下简捷易懂的解法：
　　解析设点P的坐标为（x，y），则=（x-x1，y-y1），=（x2-x，y2-y）.
　　点P是线段P1P2的一个三等分点，有两种情况，即2=或=2 .
　　（1）若2=，则2（x-x1，y-y1）=（x2-x，y2-y），从而（2x-2x1，2y-2y1）=（x2-x，y2-y），由平面向量的坐标表示，得
　　2x-2x1=x2-x，
　　2y-2y1=y2-y.
　　这样就得点P
　　. 用此法解答第100页的“探究”，就非常容易地由=λ得点P
　　进行“新课程”建设时，教材的编写也应有利于培养学生的创新思维. 解法应简捷而高效，能促进学生的有效学习，繁杂的解法很难激发学生的求知欲.
　　人教社A版必修4（2007年2月第二版）第110页的例2：如图1，ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？
　　[D][F][C][T][R][E][A][B][O]
　　图1
　　教科书上的解法是严格照按用平面向量解平面几何问题的三个步骤进行的，但在实际的教学中，教学效果不好，初学者很难懂. 其实，这本是一个很简单的平面几何问题.
　　解法1由△CFT∽ABT，AB=2CF，得AT=2TC，同理RC=2AR，于是，AR=RT=TC.
　　解法2连结BD，设BD交AC于0，则点T是△BCD的重心，CT=2TO，同理，AR=2RO，又因AO=CO，易得AR=RT=TC.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　教科书的本意是想突出平面向量在解决平面几何问题时的优越性，但“事与愿违”. 教科书上的解法还存在一个问题，就是“（n-m）a+n+
　　b=0，由于向量不共线，要使上式为0必须有n-m=0，且n+=0”，这是什么原因，学生不明白，教科书并没有交代，只是本册书第101页习题2.3 B组第3题与此类似，教科书可把这作为平面向量共线基本定理的一个推论：
　　推论1若向量a，b不共线，且λ1a+λ2b=0，λ1，λ2∈R，则λ1=λ2=0.
　　由此，还可以得以下推论：
　　推论1-1若向量a，b，c，d满足a与c共线，b与d共线，a与b不共线，且a+b=c+d，则a=c且b=d.
　　利用这个推论就有十分简捷的解法：
　　解法3+===2=2（+）=2+2，显然四个向量，，2与2满足推论1-1的条件，于是有=2，AT=2TC，同理可得=2，从而RC=2AR，于是AR=RT=TC.
　　
　　3. 培养变式思维也是培养数学创新思维的一种有效途径
　　我国的数学基础教育阶段，常常采取变式练习（变式训练）来提高学生的解题能力. 其实，变式思维远非如此简单. 变式，一般是指在保持对象的本质特征不变的条件下，改变它的非本质特征，再研究所得的对象，以图有新的发展. 我们进行数学变式训练教学，其目的不应只是为了提高学生的解题能力，当成一种对付考试的优秀手段，更重要的是要体现数学的育人价值，培养学生变式思维习惯和方法，尽量教会学生进行变式思维，从而提高创新思维水平.
　　变式思维包括概念变式思维和命题变式思维，概念变式思维是指思维主体在保持数学概念的本质特征不变的条件下，改变其非本质条件后，深入研究概念的本质特征，命题变式思维的范围就较广了，是指思维主体将命题的数学化结构进行适当变更，再研究新方法或新命题的正确性. 它包括题设变式思维、结论变式思维、逆向命题思维、方法变式思维.
　　人教社A版必修4（2007年2月第二版）第98页，关于平面向量共线的坐标表示的结论：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a，b（b≠0）共线. 其实，删去条件“b≠0”后，就得：
　　定理设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2=x2y1.
　　事实上，设x1y2=x2y1，（1）若x1=0，则x2=0或y1=0，有a=（0，y1）或a=（0，0），b=（0，y2），此时均有a∥b；（2）若y2=0，则x2=0或y1=0，有a=（x1，y1），b=（0，0），或a=（x1，0），b=（x2，0），此时亦有a∥b；（3）若x1≠0，y2≠0，则x2≠0，y2≠0，易证a∥b.
　　反之，设a∥b，当b=0时，显然有x1y2=x2y1，当b≠0时，参见教科书的证明. 证毕.
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