【数式中共有元素的一种变换】元素法卡组

　　数学的式子中一些元素对各个字母而言，大家是处于平等地位的，处理好这些元素，对解题帮助极大．这些元素（或称基本结构）我把它称为“共有元素”．比如：对字母a�1,a�2,…,a�n来说，元素a��m��1+a�m�2+…a�m�n;a�m�1a�m�2…a�m�n；∑1≤i＜j≤na�m�ia�m�j等等．�
　　解题时，可以作一种变换，使整个式子的结构变简单，突出这些字母的内在联系．下面举例说明．�
　　例1 已知：n≥3,a�i∈R�+ (i=1,2,…,n)满足：(a�2�1+a�2�2+…+a�2�n)�2＞(n-1)(a�4�1+a�4�2+…+a�4�n)．求证：这些数中任何三个数均可为一个三角形的三条边长．�
　　证明：设a�4�1+a�4�2+…+a�4�n=k�4 (k＞0).�
　　可得：（a�1k)�4+(a�2k)�4+…+(a�nk)�4=1，�
　　再设a�l=kt�l (l=1,2,…,n),则�
　　 t�l∈R�+, t�4�1+t�4�2+…+t�4�n=1，�
　　原不等式变为 (n-1)＜(t�2�1+t�2�2+…+t�2�n)�2对任意 1≤i＜j＜m≤n，由�
　　（n-1)＜(t�2�1+t�2�2+…+t�2�n)�2≤�
　　(n-1)［(t�2�i+t�2�j+t�2�m2)�2+(t�2�i+t�2�j+t�2�m2)�2+t�4��k�1�+t�4��k�2�+…+t�4��k��n-3��］=�
　　(n-1)［12(t�2�i+t�2�j+t�2�m)+1-t�4�i-t�4�j-t�4�m］.�
　　由n≥3�2(t�4�i+t�4�j+t�4�m)＜(t�2�i+t�2�j+t�2�m)�2��
　　a�4�i+a�4�j+a�4�m＜2a�2�ia�2�j+2a�2�ja�2�m+2a�2�ma�2�i��
　　［(a�i+a�j)-a�m］［(a�j+a�m)-a�i］［(a�m+a�i)-a�j］＞0��
　　a�i+a�j＞a�m,a�j+a�m＞a�i, a�m+a�i＞a�j�
　　即 a�i,a�j,a�m构成一个三角形的三边长．�
　　此题中对字母a�i而言，有两个共有元素：a�2�1+a�2�2+…+a�2�n和a�4�1+a�4�2+…+a�4�n，这里对后一个进行了变换，不但使条件式化简了，还得出了t�i的一个关系式．如果对前者进行类似的变换，也可得出�
　　t�2�1+t�2�2+…+t�2�n=1且（n-1)(t�4�1+t�4�2+…+t�4�n)＜1来证明．�
　　例2 已知：x,y,z∈R�+，求证：A=xyz(x+y+z+x�2+y�2+z�2)(x�2+y�2+z�2)(xy+yz+zx)≤19(3+3)．�
　　证明：设x�2+y�2+z�2+k�2 (k＞0)，再设 x=ak, y=bk, z=ck，则a,b,c∈R�+，a�2+b�2+c�2=1，�
　　A=abc(a+b+c+1)ab+bc+ca=a+b+c+11a+1b+1c=�
　　(a+b+c)(a+b+c+1)(a+b+c)(1a+1b+1c)≤�(a+b+c)(a+b+c+1)(1+1+1)�2=�
　　19(a+b+c)(a+b+c+1)�
　　设S=a+b+c，由 3=(1+1+1)(a�2+�
　　b�2+c�2)≥(a+b+c)�2=S�2 得 0＜S≤3．�
　　A≤19S(S+1)=19(S+12)�2-136≤�
　　19(3+12)�2-136=19(3+3).�
　　此题中共有元素很多：x+y+z,x�2+y�2+z�2,xy+yz+zx,xyz,不论选哪一个作变换，都可以使式子变简单，但由于x�2+y�2+z�2不但在式子中出现的次数多，更因为它在根号中，故我们选择它来作变换．如果：�
　　设xyz=k�3 (k＞0), xk・yk・zk=1，再设�
　　t�1=xk,t�2=yk,t�3=zk,则 t�1t�2t�3=1，�
　　A=t�1+t�2+t�3+t�2�1+t�2�2+t�2�3(t�2�1+t�2�2+t�2�3)(t�1t�2+t�2t�3+t�3t�1),�
　　再设 t�2�1+t�2�2+t�2�3=m�2， t�1=am,t�2=bm,�
　　t�3=cm,则 a�2+b�2+c�2=1, A=a+b+c+1m�3(ab+bc+ca)得 m�3abc=1,�
　　故 A=a+b+c+11abc(ab+bc+ca)=a+b+c+11a+1b+1c得前面解法相同的等价式．显然这里选共有因子xyz作变换，过程要复杂一些．读者还可以对共有元素x+y+z或xy+yz+zx作这种变换试一试．�
　　但是在有些式子中的共有元素在解题中不予关注的，在运算中只把它看作常数对待，其他元素向他转化．�
　　例3 已知：x,y,z∈R�+且xyz≥1，求证：�
　　A=x�5-x�2x�5+y�2+z�2+y�5-y�2y�5+z�2+x�2+�
　　z�5-z�2z�5+x�2+y�2≥0.�
　　证明：A=3-(x�2+y�2+z�2)［1x�5+y�2+z�2+1y�5+z�2+x�2+1z�5+x�2+y�2］�
　　由于 x�5+y�2+z�2≥x�4yz+y�2+z�2≥�
　　2x�4y�2+z�2+y�2+z�2=2x�4(y�2+z�2)�2y�2+z�2=�
　　23・［(12)�2+1�2］［(2x�2)�2+(y�2+z�2)�2］y�2+z�2≥�
　　23・(x�2+y�2+z�2)�2y�2+z�2．�
　　故 1x�5+y�2+z�2≤32・y�2+z�2(x�2+y�2+z�2)�2.�
　　同理：1y�5+z�2+x�2≤32・z�2+x�2(x�2+y�2+z�2)�2,�
　　1z�5+x�2+y�2≤32・x�2+y�2(x�2+y�2+z�2)�2,�
　　故 A≥3-32(x�2+y�2+z�2)2(x�2+y�2+z�2)(x�2+y�2+z�2)�2=3-3=0.�
　　前两个例子是齐次的，所以作变换十分有效．这里的式子不是齐次的，故不宜作变换，解题时主要是解决次数，使之向共有元素靠近．�
　　综上，我们可以知道，处理好共有元素，使用适当的参数变换，对式子的简化有重要的作用．
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