【给数学教学来些“特殊”】 数学教学的特殊原则

　　一、活用“特殊例子”――构建数学模型 　　 　　[案例1]苏教版五年级(下册)“找规律”教学片段 　　师：在□□□□中有多少个长方形?你是怎样数的?
　　生：我先数出单个的4个。再数出由相邻两格组成的长方形有3个，然后数由相邻三格组成的长方形有2个，最后加上由四格组成的大长方形，这样一共有10个长方形。
　　师：□□□□□□□□□□中有多少个□□□这样的长方形?
　　生1：我是依次圈出来的，一共有8个这样的长方形?
　　生2：我先把□□□覆盖在大长方形上，然后按从左往右的顺序逐次平移，平移7次得到一共有8个这样的长方形。
　　师：平移了7次怎么会有8个这样的长方形呢?还有1个是哪里来的?
　　生：“1个”是一开始就覆盖的那一个。
　　师：同学们刚才用到了平移的方法，采用平移的方法有什么好处?
　　生：能按一定的顺序，不遗漏、不重复地找出所有的长方形。
　　师：□□□□□□□□□□中有几个□□□□这样的长方形?用平移的方法找一找。
　　生：有7个这样的长方形。
　　师：□□□□□□□□中有多少个□□□□□□□
　　50个□这样的长方形?请同学们自己寻找解决问题的方法。
　　生：50－6+1＝45(个)。
　　师：你是怎么想的?说说你的发现。
　　生：大长方形格数一小长方形格数+1＝小长方形的个数。
　　师：“大长方形格数一小长方形格数”得到是什么?
　　生：“大长方形格数一小长方形格数”得到的是覆盖后剩下的格数，也就是平移的次数。
　　师：如果用a、b分别表示大长方形的格数和小长方形的格数，怎样求出小长方形的个数?
　　生：a－b+1。
　　上述案例中，教者从更有利于学生找出规律的角度考虑。改换了例题。因为教材提供的例题中：“使每次框出的两个数的和各不相同”这一要求，给学生设置了一定的障碍，不利于学生关注到规律的本质特点。为此，教者试图排除非本质特点的干扰，找到此类规律的“原型”，即有序地数出大长方形中包含的小长方形的个数。教学中，先以分类数出所有的长方形作铺垫，再引导学生采用覆盖平移的方法具体感知规律的特点，然后“逼”学生摆脱直观操作，经归纳推理自己探究发现规律。通过问题一般化的过程，构造相应的数学模型，然后运用化归的数学思想，利用数学模型的典型性深刻理解并灵活应用规律，提高学生的解题能力。
　　
　　二、妙设“特殊操作”――突破教学难点
　　
　　[案例2]“认识体积”的教学
　　1　理解“空间”。
　　师：请同学们拿出课桌里的书包，用手触摸抽屉，你有什么感觉?
　　生：抽屉里有一定的空间。
　　师：请把书包放回课桌里，再用手触摸，你又有什么感觉?
　　生：抽屉里有一部分空间被书包占据了，原来的空间变小了。
　　师：(出示一只空的量杯)请同学们观察：量杯里有一定的空间。老师慢慢地往量杯里倒水，你有什么发现?
　　生：量杯里的空间被水占据了。
　　2　理解“空间的大小”。
　　实验操作：
　　(1)将铁块浸没在盛水容器中，观察水面的变化，再从水中取出铁块，观察水面的变化。
　　(2)将比铁块大得多而重量明显轻于铁块的泡沫塑料块浸没在水中，观察、比较放进铁块与放进泡沫塑料时出现的现象有什么异同?放进泡沫塑料块比放进铁块水面上升得多，这是为什么?
　　体积的概念对于小学生来说是相当抽象的，大多数教师都是采用出示长方形盒子等实物教具来帮助学生理解。案例2中，教师颇有创意地设计了特殊的操作活动。该操作活动的特殊之处在于：一是具有一定的层次性，先让学生理解“空间”，再让学生理解“空间的大小”，符合学生的认知特点；二是理解“空间的大小”时，大多数教师仅凭借第一次实验操作，就问学生水面升高或下降的原因是什么?对于空间观念还很淡薄的小学生来讲，往往会联想到是因为水中增加了铁块的重量的缘故。为了让学生的思维避开这一误区，教者在完成第一个实验操作后，没有急于抽象概括，而是紧接着又巧妙地进行对比实验，而且有意识地选取了“特殊”的实验材料――比铁块大得多而重量明显轻于铁块的泡沫塑料块。经过两个层次的实验操作，教师因势利导，启发学生抽象概括出“体积”的意义。这样学生在饶有兴趣的触摸和观察中，由表及里地层层体验概念的内涵，使学生建立起“体积”概念，达到终生难忘的教学效果，有效地突破了教学难点。
　　
　　三、巧觅“特殊路径”――优化认知过程
　　
　　[案例3]探究“圆周长与什么有关”的教学
　　师：学校进行校园环境改造，计划建一个花坛，工人们先确定花坛中心位置(出示中心点)，在量得两端的距离为3米后，建这样一个正方形花坛(如图1)，它的周长是多少?
　　生：3×4＝12(米)。
　　师：如果将这两点的距离改为5米，花坛的周长会有什么变化?为什么?
　　生：因为正方形的边长变长了，所以花坛的周长也就变长了。
　　师：如果在这两端之间建的是一个圆形的花坛(如图2)，这个花坛的周长指的又是哪一部分?
　　生：封闭曲线的长就是圆形花坛的周长。
　　师：假如将两端的距离改为5米，建成的圆形花坛与刚才的相比，哪一个的周长更长?
　　(多媒体演示：将两个圆形的曲线分别展开并比较。)
　　师：想一想，圆的周长与什么有关?
　　生：圆的周长与它的直径有关。
　　圆的周长与直径有关，学生一般较难发现和理解。通常情况下，教师会采用两种教学路径：一是通过测量直接标注好不同直径而大小不同的圆的周长，让学生发现圆的周长与它的直径有关；二是由正方形的周长与它的边长有关，直接揭示圆的周长肯定与它的半径或直径有关。这些认知路径都显得比较生硬，圆的周长与它的直径有关都并非是学生感悟后发现的，而是教师暗示或直接告知的。而上述案例中，教师找到了一条认知的“特殊路径”：抓住正方形与圆的周长实质都与经过它们中心的定长线段有关这一共有的本质特点，在理解正方形的周长与它的边长有关的基础上，引导学生发现圆的周长与它的直径有关，这样就符合从已知到未知的认知规律，整个认知过程自然而又流畅。