从数学思想谈一题多解|七年级上册 数学思想方法 训练题

　　数学思想在高中阶段主要有：数形结合思想、转化与化归思想、函数与分解思想。数学思想在中学课本没有正式提出过，但高中教学的解题主要是围绕着这些思想展开的。下面我就以一题为例，在对它的多种解答过程中，看看数学思想在解题中的具体运用。
　　例：若x∈[0，■]，求使关于x方程cosx+■sinx=■有解的正数a的取值范围。
　　分析：要求a的取值范围，而■在等式的两边，应先把■合并列一起。常见的错误认识是：一看见有cosx，sinx就想到cosx+■sinx=■(■cosx+■sinx)=■sin(φ+x)，而此时sinφ=■为变量，比较难解出。
　　解法一：同时应用了数形结合的思想（关键是代数问题与图形之间的转化）和转化与化归思想（转变成求两点的斜率）
　　解：■（1-sinx）=cosx，x∈[0，■] ，1-sinx≠0，cosx≠0，■=■，■=■。令■=-k，k=■?圯问题转化成A（0,1）、B(cosx，sinx)两点的斜率。由x∈[0，■]，则取B(■，■)，C(1,0)，有kAB≤k≤kAC，■=-k，所以■-1≤-k≤1，■-1≤■≤1?圯1≤a≤3+2■。
　　解法二：函数与角的思想
　　解（1）：■=■=■=■=■=tan(■+■)，
　　因为x∈[0，■]，■∈[0，■]，■+■∈[■，■+■]，
　　又因为tan(■+■)在x∈[0，■]上为增函数，
　　tan(2×■)=1=■，tan2■■+2tan■■-1=0，tan■■=■=-1±■，
　　tan(■+■)=■=■+1。
　　所以1≤■≤■+1，1≤a≤3+2■。
　　解（2）：利用函数的单调性■=■=■=■=■=■，
　　因为1+sinx在[0，■]上为增函数，cosx在[0，■]上为减函数，所以=■在[0，■]上为增函数，■在[0，■]为增函数。
　　所以■≤■≤■ ，
　　即1≤■≤■+1，1≤■≤■+1，
　　解得1≤a≤3+2■。
　　（责编 张晶晶）
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文