解析几何中建立目标函数的十种策略_解析几何解题策略

　　�解析几何最值问题能有机地综合中学数学各科知识，一直是高考的一个重要内容，是中学数学的一个难点，也是考生的一个主要失分点. 总体上讲，求解解析几何最值问题不外乎两种方法：一是代数方法，即建立目标函数(目标函数是指所关心的目标(某一变量)与相关的因素(某些变量)的函数关系)求解；二是几何方法，即利用图形直观求解.大多数解析几何最值问题可通过建立目标函数求解，那么应当如何建立目标函数？首先，建立目标函数时，应根据题意分清题中的量哪些是变量，哪些是常量; 其次，选择因变量和自变量的关系，即根据所给条件建立函数关系式.目标函数建立得当，常能简化解题过程. 笔者通过实践,归纳总结了建立目标函数求解解析几何最值问题的十种常用策略.�
　　1 以形助数，直观简明�
　　建立目标函数是代数方法，但数与形不能隔裂分家.只有数与形的完美结合，才能领会数学的真谛.�
　　例1 已知椭圆长轴长4，以y轴为准线，且左顶点在抛物线y�2=x－1上，求离心率最大时的椭圆方程.�
　　解：设左顶点为A(x�0,y�0),设椭圆的中心为O�1,如图1, 连结O�1A, 并延长交y轴于N,�
　　则O�1A=a=2, NA=x�0.�
　　因为y�2�0=x�0－1≥0, 所以x�0≥1.�
　　所以e=aa�2c=2|O�1N|=2x�0+2≤23.�
　　所以e���max��=23，此时椭圆方程为�
　　(x－3)�24+9y�220=1.�
　　
　　图1
　　
　　图2
　　2 巧妙分割，化整为零�
　　分割是一种化整为零的转化方法.在解析几何中某些与面积有关的最值问题，恰当使用分割法，往往会获得独具特色的简捷解法.�
　　例2 椭圆x�2a�2+y�2b�2=1与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，在第一象限内的椭圆上找一点C，使四边形OACB的面积最大，最大面积是多少？�
　　解：如图3, 连结OC，设C(a�cos�θ,b�sin�θ)，�
　　则 S��四边形OACB�=S��△OAC�+S��△OBC�=12ab(�sin�θ+�cos�θ)=22ab�sin�(θ+π4).�
　　当θ=π4时，S��四边形OACB�有最大面积22ab,�
　　此时C点坐标为(22a,22b).�
　　
　　图3
　　
　　图4
　　3 巧用对称，不算而解�
　　圆、椭圆、双曲线、抛物线、都具有对称性，在求解有关最值问题时，挖掘潜在的对称性解题，可减少运算量，简明、快捷、优美地获解.�
　　例3 设AB为过椭圆x�225+y�216=1的中心的弦，F�1为椭圆左焦点，求△ABF�1的面积的最大值.�
　　解：设F�2为椭圆右焦点. 如图4, 连结AF�2,BF�2.�
　　由椭圆的对称性易知四边形AF�1BF�2是平行四边形.�
　　所以S��△ABF�1�=12S���AF�1BF�2�=S��△AF�1F�2�=�
　　12|F�1F�2|・|y�A|=3|y�A|≤12.�
　　所以S��△ABF�1�的最大值为12.�
　　4 巧用圆心，合理转化�
　　圆是解析几何的基本图形之一，它既是中心对称图形，也是轴对称图形．在解决与圆有关的问题时，善于抓住圆心，可使问题迅速得到解决.�
　　例4求抛物线y=x�2与圆x�2+(y－2)�2=1上最近两点的距离.�
　　解：设抛物线上一点P(x�0,y�0)，则y��0� = x�2��0�.�
　　如图4, 只要求出圆心O�1与点P的最近距离即可.�
　　因为|PO�1|=x�2�0+(y�0－2)�2=�
　　(y�0－32)�2+74.�
　　所以当y�0=32时，|PO�1|的最小值为72，�
　　故抛物线与圆上最近两点的距离为72－1.�
　　5 方程搭桥，迅速沟通�
　　直线、圆、椭圆、双曲线的参数方程都是三角形式，因此有关最值问题，可以借助它们的参数方程，把问题转化为三角函数最值问题，灵活运用三角函数知识，问题迎刃而解.�
　　例5 过点P(1,2)作直线l交x轴、y轴的正半轴于点A、B，求|PA|・|PB|取得最小值时的直线l方程.�
　　解：设直线l的参数方程为x=1+t�cos�θ�y=2+t�sin�θ �(t为参数，π2＜θ＜π).�
　　将其代入xy=0并整理得�
　　t�2�sin�θ�cos�θ+(2�cos�θ+�sin�θ)t+2=0.�
　　所以|PA|・|PB|=－t�1t�2=－4�sin�2θ.�
　　当θ=135°时，|PA|・|PB|取得最小值4.�
　　此时直线l的方程为y－2=－(x－1)，�
　　即 x+y－3=0.�
　　6 细察结构，平面几何开路�
　　把解几最值问题转化为平面几何中的最值问题，能充分利用平面几何技巧性强，运算量小的特点.�
　　例6 已知A(－1,0)，B(1,0)，P是圆周(x－3)�2+(y－4)�2=4上一点，求|AP|�2+|BP|�2的最小值.�
　　解：设P(3+2�cos�θ,4+2�sin�θ). 因AB的中点是原点，�
　　如图5, 连结PO，根据平行四边形各边平方和等于其对角线平方和，�
　　得|AP|�2+|BP|�2=2(|PO|�2+|OB|�2)=2+2|PO|�2=�
　　60+8(3�cos�θ+4�sin�θ).�
　　故|AP|�2+|BP|�2的最小值为20.�
　　
　　图5
　　
　　图6
　　7 借助射影，降维处理�
　　利用点或线段在坐标轴上的正投影来解题，化两点间的距离(二维)为有向线段的数量的绝对值(一维)，思路简捷、运算简便.�
　　例7 (同例5)�
　　解：如图6，作PC⊥y轴于C, 作PD⊥x轴于D, 设∠PBO=θ，则�
　　|PA|・|PB|=|PC|�cos�θ・|PD|�sin�θ=4�sin�2θ.�
　　当θ=π4时，|PA|・|PB|取得最小值４.�
　　此时直线l的方程为x+y－3=0.�
　　8 借助定义，化难为易�
　　圆锥曲线的定义刻画了动点与定点(或定直线)距离之间的定量关系，因此与距离有关的解析几何最值问题，借助定义，往往能化难为易.�
　　例8如图7，已知双曲线x�24－y�2=1，过右焦点F�2作直线l与双曲线交于A、B两点，设左焦点为F�1，求|F�1A|・|F�1B|的最小值.�
　　解：由双曲线的定义得|F�1A|－|F�2A|=4，|F�1B|－|F�2B|=4.�
　　所以 |F�1A|・|F�1B|=�
　　(4+|F�2A|)(4+|F�2B|)=�
　　16+4|AB|+|F�2A|・|F�2B|.�
　　由题设知F�1(－5,0)，F�2(5,0).�
　　设直线l的参数方程为x=5+t�cos�θ�y=t�sin�θ (t为参数).�
　　将其代入双曲线方程并整理得�
　　(5�cos��2θ－4)t�2+25t�cos�θ+1=0.�
　　显然5�cos��2θ－4≠0，�
　　所以t�1+t�2=－25�cos�θ5�cos��2θ－4，�
　　t�1t�2=15�cos��2θ－4＜0.�
　　所以|AB|=|t�1－t�2|=�
　　(t�1+t�2)�2－4t�1t�2=44－5�cos��2θ.�
　　所以|F�1A|・|F�1B|=16+174－5�cos��2θ.�
　　当且仅当θ=π2时，|F�1A|・|F�1B|取得最小值814.�
　　
　　图7
　　
　　图8
　　
　　9 借助复数，化解旋转�
　　与旋转有关的解析几何最值问题，借助复数建立目标函数，往往是很方便的.�
　　例9 如图8，A(2,0)，B为半圆x�2+y�2=1(y≥0)上一动点，点C在x轴上方且△ABC是BC为斜边的等腰直角三角形，问B在何处时，O、C两点距离最远，最远距离是多少？�
　　解：设∠AOB=θ(0≤θ≤π).�
　　视坐标平面为复平面.�
　　设点A、B、C对应的复数分别为z�A、z�B、z�C，�
　　则z�A=2, z�B=�cos�θ+i�sin�θ,�
　　z�C－z�A=－�i�(z�B－z�A)=�
　　－�i�(�cos�θ－2+�i��sin�θ)=�
　　�sin�θ+�i�(2－�cos�θ),�
　　所以z�C=2+�sin�θ+�i�(2－�cos�θ).�
　　所以|OC|=|z�C|=�
　　(2+�sin�θ)�2+(2－�cos�θ)�2=�
　　9+42�sin�(θ－π4).�
　　当�sin�(θ－π4)=1，即θ=3π4时，�
　　|OC|���max��=9+42=1+22.�
　　故当OB与OA成3π4角时，O、C两点距离最远，最远距离为1+22.�
　　10 二元目标，整体把握�
　　解析几何中的许多最值问题，可建立二元目标函数，归结为几个正变量的和的最小值或积的最大值，创造性地利用基本不等式，直达彼岸.�
　　例10 求圆x�2+y�2=1的切线方程，使这条切线夹在两坐标轴正半轴间的线段长最短.�
　　解：设切点为(x�0,y�0)，则切线方程为�
　　xx�0+yy�0=1.�
　　切线与两坐标轴正半轴的交点A(1x�0,0), B(0,1y�0)(x�0＞0,y�0＞0).�
　　又因为x�2�0+y�2�0=1，所以|AB|=(1x�0)�2+(1y�0)�2=1x�0y�0≥2x�2�0+y�2�0=2.�
　　在x�0=y�0时，上式取等号，代入解得�
　　x�0=y�0=22.�
　　故所求切线方程为22x+22y=1，�
　　即x+y－2=0.
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