一道高考数学试题的背景探析 高考数学试题背景
每年的高考试题，都会留下许多经典之作，给我们留下无限遐想的空间，激发数学探究的激情．本文试图通过对一道高考试题的剖析、探究与引申，享受数学探究的乐趣．� 1 问题的呈现�
（2008年江西省高考数学试题）设点P（x�0,y�0)在直线x=m (y≠�±m�,0＜m＜1)上，过点P作双曲线x�2-y�2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M（1m,0)．�
（1） 略； （2） 求证：A、M、B三点共线．�
证明：设A（x�1,y�1)、B（x�2,y�2)，PA斜率为k，�
则切线PA方程为：y-y�1=k(x-x�1),�
由 y-y�1=k(x-x�1)�x�2-y�2=1，消去y得：�
(1-k�2)x�2-2k(y�1-kx�1)x-(y�1-kx�1)�2-1=0,�
因为直线与双曲线相切，从而 Δ=4k�2(y�1-kx�1)�2+4(1-k�2)(y�1-kx�1)�2+4(1-k�2)=0,�
及 x�2�1-y�2�1=1，解得 k=x�1y�1，�
因此PA的方程为：y�1y=x�1x-1,�
同理PB的方程为：y�2y=x�2x-1，�
又P（m,y�0)在PA、PB上，�
所以 y�1y�0=x�1m-1, y�2y�0=x�2m-1,�
即点A（x�1,y�1),B(x�2,y�2)都在直线y�0y=mx-1，又M（1m,0)也在y�0y=mx-1上，所以 A、M、B三点共线．�
点评：这是一道以双曲线的切点弦为载体演绎双曲线性质的试题，题目设计新颖、背景匠心独具，揭示了圆锥曲线中蕴涵着许多值得探究的规律和耐人寻味的内涵．为了能够更清楚地讨论问题，我们可以先把问题进行一般化处理．�
2 问题的一般化�
性质：设点P（x�0,y�0)在直线x=m (y≠±m,0＜m＜a�2)上，过点P作双曲线x�2a�2-y�2b�2=1 �(a＞0,b＞0)的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M（a�2m,0)，那么A、M、B三点共线．�
证明：因为点P（x�0,y�0)，所以易得切点弦AB的方程为 xx�0a�2-yy�0b�2=1，又 x�0=m，�
即直线AB的方程：mxa�2-yy�0b�2=1，�
令 y=0, 得 x=a�2m， 所以直线AB过定点M（a�2m,0), 即A、M、B三点共线．�
3 问题的拓展�
（1） 横向类比：该性质对于椭圆或抛物线同样成立．�
引申1：设点P（x�0,y�0)在直线x=m (0＜m＜a�2)上，过点P作椭圆
x�2a�2+y�2b�2=1 (a＞b＞0)的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M（a�2m,0)，那么A、M、B三点共线．�
（2） 逆向类比：易得原命题的逆命题也成立：�
引申2：过定点M（a�2m,0) (0＜m＜a�2)的直线交双曲线x�2a�2-y�2b�2=1 (a＞0,b＞0)于A、B两点，以A、B为切点的两条切线PA、PB交于点P，则点P在定直线x=m上．�
证明：设点P（x�0,y�0)，易得切点弦AB的方程为xx�0a�2-yy�0b�2=1，又因为直线AB过定点M（a�2m,0)�x�0=m，所以点P在定直线x=m上．�
（3） 纵向类比：�
引申3：设点P（x�0,y�0)在直线x=m (y≠�±m�,0＜m＜a�2)上，过点P作双曲线x�2a�2-y�2b�2=1 (a＞0，b＞0)的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M（a�2m,0)，那么直线PM与AB的斜率乘积为定值b�2m�2a�2(m�2-a�2)．�
证明：因为点P（x�0,y�0)，所以易得切点弦AB的方程为mxa�2-yy�0b�2=1，�
所以AB的斜率k��AB�=mb�2a�2y�0，�
直线PM的斜率k��PM�=my�0m�2-a�2，�
故 k��AB�・k��PM�=b�2m�2a�2(m�2-a�2)．�
引申4：设点P（x�0,y�0)在直线x=m (y≠�±m�,0＜m＜a�2)上，过点P作双曲线x�2a�2-y�2b�2=1 (a＞0，b＞0)的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M（a�2m,0)，那么直径PA、PM与PB的斜率成等差数列．�
证明：由性质可知，A、M、B三点共线． 又点P（x�0,y�0)，所以易得切点弦AB的方程为mxa�2-yy�0b�2=1．
因为 A（x�1,y�1)在直线AB上，又在双曲线 x�2a�2-y�2b�2=1 (a＞0，b＞0)上，所以得到mxa�2-yy�0b�2=1�x�2�1a�2-y�2�1b�2=1�x�1(x�1-m)a�2=y�1(y�1-y�0)b�2, 即 y�1-y�0x�1-m=b�2x�1a�2y�1(1)�
设B（x�2,y�2)，同理可得：y�2-y�0x�2-m=b�2x�2a�2y�2(2)�
由（1）、（2）可得 k��PA�+k��PB�=�
y�1-y�0x�1-m+y�2-y�0x�2-m=b�2a�2(x�1y�1+x�2y�2)(3)�
由 mxa�2-yy�0b�2=1�x�2a�2-y�2b�2=1 消去1，可以得到�
x�2a�2-y�2b�2=（mxa�2-yy�0b�2)�2，把这个式子整理得到：m�2-a�2a�4(xy)�2-2my�0a�2b�2(xy)+y�2�0+b�2b�4=0，�
由韦达定理得 x�1y�1+x�2y�2=a�2b�2×2my�0m�2-a�2(4)�
把（4）代入（3）得 �
k��PA�+k��PB�=b�2a�2(x�1y�1+x�2y�2)=2my�0m�2-a�2，�
又因为直线PM的斜率 k��PM�=my�0m�2-a�2，�
从而 k��PA�+k��PB�=2k��PM�，�
即直线PA、PM与PB的斜率成等差数列．�
如果我们把性质的切线改为过双曲线顶点的两条割线，问题可以再度拓展，又得到如下相类似的双曲线几何性质：�
引申5：设A�1、A�2分别为双曲线x�2a�2-y�2b�2=1 (a＞0，b＞0)的左、右顶点，P为直线x=m (0＜m＜a�2)上的任意一点，如果PA�1、PA�2与双曲线分别交于A、B，定点M（a�2m,0)，那么A、M、B三点共线．�
证明：设A（x�1,y�1)、B（x�2,y�2)，�
则直线A�1A的方程为：y=k�1(x+a)，�
代入双曲线方程得：�
(b�2-a�2k�2�1)x�2-2a�3k�2�1x-(a�4k�2�1+a�2b�2)=0,�
所以 A（ab�2+a�3k�2�1b�2-a�2k�2�1,2ab�2k�1b�2-a�2k�2�1)(1)�
设直线A�2B的方程为 y=k�2(x-a)，�
同理得到 B(-a�3k�2�2-ab�2b�2-a�2k�2�2,-2ab�2k�2b�2-a�2k�2�2)(2)�
又因为P(m,y�P)是直线A�1A与A�2B的公共点，所以满足y�P=k�1(m+a），且 �
y�P=k�2(m-a)�k�1-k�2k�1+k�2=-am（3）�
由两点式可以得直线MN的方程为�
y-y�1y�2-y�1=x-x�1x�2-x�1，令 y=0�x=x�2y�1-x�1y�2y�1-y�2，把（1）（2）（3）代入上式得：x=a�2m，证毕．同样地也可以证明，该命题的逆命题也成立．�
参考文献�
1 苏立标．椭圆的“类准线”性质初探．数学教学通讯，2007（8）�
2 吴翔雁．圆锥曲线的一个性质的拓广．中学数学月刊，2007（9）
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