[向量内积公式的创新应用]向量内积公式

　　向量内积公式:a・b=|a|・|b|�cos�θ(其中θ为a与b的夹角),则|a・b|=|a|・|b|・�|�cos�θ|�.� 　　根据－1≤�cos�θ≤1，可得不等关系式:�
　　①a・b≤|a|・|b|(当且仅当a与b共线同向时，等号成立.以下同)�
　　②|a・b|≤|a|・|b|; ③|a|≥|a・b||b|; ④|a・b|�2≤|a|�2・|b|�2.�
　　以上不等式能沟通“和”、“和的平方”、“平方和”，可操作性强，具有多种解题功能，为我们开辟了广阔的思维空间，提供了更多的创新机遇. 对于问题中直接或间接出现了“和”、“和的平方”、“平方和”的有关问题，若能观察题目结构特征，有针对性地、恰当地构造向量，往往会收到意想不到的效果，这样不仅有利于拓展我们的想像力，激发创新活力，而且有利于提高分析和解决问题的能力.�
　　1 比较大小�
　　例1 已知m、n、a、b、c、d∈R�+且p=ab+cd，q=ma+nc・bm+dn，那么p,q的大小关系为().�
　　（�A�） p≤q（�B�） p≥q�
　　（�C�） p＜q （�D�） p,q大小不能确定�
　　解：构造向量h=(ma,nc)，k=(bm,dn), 则h・k=ab+cd，�
　　|h|=ma+nc,|k|=bm+dn,�
　　由h・k≤|h|・|k|，得�
　　ab+cd≤ma+nc・bm+dn,�
　　即p≤q，故选（�A�）．�
　　2 求值�
　　例2 若锐角α、β满足�cos�α+�cos�β－�cos�(α+β)=32,求�sin�(α+β)之值.�
　　解：原条件式可化为(1－�cos�β)�cos�α+�sin�β�sin�α=32－�cos�β.�
　　构造向量a=(1－�cos�β,�sin�β),�
　　b=(�cos�α,�sin�α).�
　　由|32－�cos�β|=|a・b|≤|a|・|b|=�
　　(1－�cos�β)�2+(�sin�β)�2,�
　　两边平方，并整理得(�cos�β－12)�2≤0，�
　　于是�cos�β=12，故锐角β=π3.�
　　同理可得α=π3.�
　　所以 �sin�(α+β)=�sin�2π3=32.�
　　例3 已知�sin�α+�sin�(α+β)+�cos�(α+β)=3，β∈［π4,π］，求β之值.�
　　解：原条件式可化为(1+�cos�β－�sin�β)�sin�α+(�sin�β+�cos�β)�cos�α=3,�
　　构造向量a=(1+�cos�β－�sin�β,�sin�β+�cos�β),b=(�sin�α,�cos�α).�
　　由3=a・b≤|a|・|b|=�
　　(1+�cos�β－�sin�β)�2+(�sin�β+�cos�β)�2,�
　　两边平方,并整理得 �cos�β≥�sin�β,�
　　又β∈［π4,π］, 所以 β=π4.�
　　3 解方程或方程组�
　　例4 解方程3+2�sin��2x+3+2�cos��2x=4.�
　　解：构造向量 a=(1,1), �
　　b=(3+2�sin��2x,3+2�cos��2x),�
　　则 4=3+2�sin��2x+3+2�cos��2x=�
　　a・b≤�|a|�・�|b|�=�
　　2・(3+2�sin��2x)+(3+2�cos��2x)=�
　　2・22=4．�
　　可见a=（1，1）与b=（3+2�sin��2x,3+2�cos��2x)共线同向，�
　　所以 3+2�sin��2x=3+2�cos��2x，�
　　解得 x=kπ±π4．�
　　例5 求方程组x�2+y�2=3�x�2+4+y�2+1=4 的实根.�
　　解：构造向量a=(1,1)，�
　　b=(x�2+4,y�2+1),�
　　则 4=x�2+4+y�2+1=�
　　a・b≤|a|・|b|=2・x�2+y�2+5=�
　　2・8=4,�
　　可见a与b共线同向, 所以 原方程组等价于x�2+y�2=3�x�2+4=y�2+1 .�
　　解得x=0�y=3 或x=0�y=－3 .�
　　4 求最值或值域�
　　例6求函数y=23x+6+528－2x的最大值.�
　　解：由原函数得�
　　y=23・x+2+52・14－x.�
　　构造向量a=(23,52)，�
　　b=(x+2,14－x),�
　　则|a|=62,|b|=(x+2)+(14－x)=4,�
　　由a・b≤|a|・|b|，得�
　　y=a・b≤462(�)�
　　由14－xx+2=5223，解得x=3431.�
　　当x=3431时, a与b共线同向, 所以(�)式等号成立，故y���max��=462.�
　　例7 求函数y=2�sin�x+3�cos�x－4�cos�x－2的值域.�
　　解：由原函数得2�sin�x+(3－y)�cos�x=4－2y,�
　　构造向量a=(2,3－y),b=(�sin�x,�cos�x),�
　　则|4－2y|=|a・b|≤|a|・|b|=4+(3－y)�2，解得13≤y≤3.�
　　5 证明不等式�
　　例8设任意实数x,y满足|x| 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文