二项展开式中系数最大值问题的探究学习_

　　浙江诸暨草塔中学 311812 　　 　　摘要：二项式定理中经常出现一类求二项式系数最大值的问题，它除了要搞清楚某一项的二项式系数与系数的区别以外，还要对一些常见的系数最大值问题进行探求分析. 本文将对二项展开式中系数最大值问题进行探究.
　　关键词：二项式；最大值；方法；探究
　　
　　以下是实录教学过程中师生的对话，从中可以体现出对二项展开式中系数最大值问题的探究过程.
　　问题求
　　
　　+10展开式中系数最大的项.
　　师：本题小括号内的项很复杂，不仅有三次和五次根式，分母中还含有变量，请思考展开式中各项系数与二项式系数的关系.
　　生：因为小括内的两项和本身的系数为1，所以展开式中每一项的系数都等于该项的二项式系数，而展开式中中间项的二项式系数最大，故只需求二项式系数最大项即可.
　　解析由题可知，二项展开式的系数即是该项的二项式系数，所以系数最大的项为第6项，即T6=C・（）5
　　5=252x・y-1.
　　探究1求（x－y）9展开式中系数最小的项.
　　师：本题小括号内两项的系数与上题有何区别？
　　生：本题小括号内两项的系数分别为1和－1，故展开式中奇数项的系数等于该项的二项式系数，而偶数项的系数等于该项的二项式系数的相反数，即每一项的系数的绝对值与该项的二项式系数相等.
　　解析由题可知，二项展开式的系数的绝对值与该项的二项式系数相等，而展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，且第5项的系数为正，第6项的系数为负，故展开式中系数最小的项为第6项，即T6=C・x4（－y）5=－126x4・y5.
　　探究2求（1+2x）4展开式中系数最大的项.
　　师：可以发现，本题中小括号内两项的系数与二项式系数既不相等也不相反，该如何来求系数最大的项？
　　生：……
　　师：该题显然不能按上述两题的方法直接转化成二项式系数，但我们可以尝试用“夹逼法”来求解.
　　解析设展开式中的第（r+1）项为Tr+1=C・（2x）r （r=0，1，…，4），
　　故r=3. 即第四项的系数最大，T4=C・（2x）3=32x3.
　　探究3①式求解系数最大值时的r一定有解吗？如果有解，会有几个解？你能证明吗？
　　生1：可能会有多个解，比如有可能第3项比第2项和第4项的系数大，第6项比第5项和第7项的系数大……
　　生2：可能会无解，比如各项的系数依次减小或依次增大时，这样的r就不存在.
　　师：那我们不妨对一般性结论加以证明. 例如求（1+ax）n展开式中系数最大的项（其中a>0）. 请同学们按照“夹逼法”的思想进行探求. 下面由同学们自己思考.
　　解析设展开式中的第（r+1）项为Tr+1=C・ar，
　　所以上述方程组必有解. 且当和都为整数时，r有两解：，，否则r有且只有一解.
　　探究4求（1－2x）10展开式中系数最大的项.
　　师：本题小括号中第二项的系数为－2，所以各项的系数与二项式系数不同且展开式的项呈正负相间变化，与上题又有区别，又该如何求解呢？
　　生1：用“夹逼法”. 设展开式中的第（r+1）项为Tr+1=C・（－2x）r，
　　师：若将此式展开化简，则由于r的奇偶性不确定，所以（-2）r，（-2）r+1等的正负性不定，而且由于项的正负相间会有多个满足条件的r，故此法不可取.
　　生2：根据思路，直接用“夹逼法”不可行，因为项是正负相间的. 而展开式的奇数项为正，偶数项为负，故系数最大的项必为奇数项，即r为偶数.
　　设r为偶数，令
　　师：上述不等式组中的两个不等式都是二次不等式，虽然理论上可以求出满足条件的r，但求解过程较繁.
　　生3：考虑到项与项的绝对值之间的关系，不妨先求绝对值最大的项.
　　解析Tr+1=C・（－2x）r，令ar=C・2r，令ar+1>ar，即C・2r+1>C・2r，因为r∈N，所以r≤6，即r1r8>r9>r10 . 又r=7时系数小于0，故只需比较C・28和C・26的大小. 求得C・28 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文