分解因式还有一种特殊方法:分解因式例题

　　分解因式在初中数学学习中占有较大的比例，作用大，意义深，对分式的约分和通分以及一元二次方程的解法都起着非常重要的作用.又因多项式的形式各异，所以不管哪种版本的教材，对分解因式的方法和步骤，在内容编排上都是逐步进行的，教师要引领学生首先提取公因式，然后再想着套用公式.无可非议，这样安排分解因式的方法和步骤，不仅清楚明确，同时也体现了分解因式的重要性.所以具有一般学力的学生，解答这类题目，在提取公因式以后，最先想到的是能不能利用十字相乘法，或者令这个多项式等于零，然后再利用完全平方式或求根公式.例如简单的分解因式：ｘ2-7ｘ+12，学生立刻会想到利用十字相乘法.但是十字相乘法的灵活性较强，绝大多数版本的教材中，除了安排这种含有一个字母简单的题型外，均适当安排了类如ｘ2-9ｘy+18y2这种含有两个字母类型的题目，这种类型的分解因式也常常会出现在一些教辅资料中和考卷上.而当学生一旦遇到这类含有两个字母，较为复杂的多项式时，分解起来就感到非常困难了.
　　例如分解因式：4ｘ2・4ｘy-3y2-4ｘ+10y-3（其中4ｘ2、-3y2叫做二次项，-4ｘy叫交叉项，-4ｘ、10y叫一次项，-3叫常数项），对于基础扎实一些的学生来说一般还是能够利用十字相乘法和求根公式来分解的.就是先用两个二次项“凑”出交叉项，再结合常数项“凑出”两个一次项，便可以利用十字相乘法进行因式分解了.若利用求根公式分解，一般是将原多项式看作关于x的二次三项式.
　　即：4ｘ2-4（y+1）ｘ+（-3y2+10y-3）=（2ｘ+y-3）（2ｘ-
　　3y+1）.
　　对于这种较为复杂的二元二次多项式，在分解因式时，使用设零消元法即可使问题刃而解，也很容易被学生接受.下面就介绍设零消元法的方法与步骤.
　　一般地，先设ax2+bxy+cy2+dx+ey+f能够分解成两个一次因式的积（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2），即：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）.
　　再设y=0或x=0，当设y=0时，等式可变为（ax2+dx+f）=（a1x+c1）（a2x+c2）；当设x=0时，等式可变为（cy2+ey+f）=（b1y+c1）（b2y+c2）.然后分别对这两个等式左边的一元二次三项式进行因式分解，再根据对应项系数相等，进行恒等变化，即可得出a1，a2，c1，c2，b1，b２的值，从而得出最终的分解结果.（说明：先设y=0与x=0先设 的道理和结果是相同的.）
　　【应用举例】
　　例1：分解因式：4x2-4xy-3y2-4x+10y-3.
　　解：设4x2-4xy-3y2-4x+10y-3=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）.
　　令y=0，得：4x2-4x-3=（a1x+c1）（a2x+c2）.
　　即：（2x+1）（2x-3）=（a1x+c1）（a2x+c2）.
　　比较两边得：a1=2，a2=2，c1=1，c2=-3.
　　再令x=0，可得：-3y2+10y-3=（b1y+c1）（b2y+c2）.
　　即：（-3y+1）（y-3）=（b1y+1）（+b2y-3）.
　　于是可得：b1=-3，b2=1.
　　∴4x2-4xy-3y2-4x+10y-3=（2x-3y+1）（2x+y-3）.
　　（作者单位：安徽省利辛县巩店中学）
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