[体验问题过程　感知数学知识]趣味数学100题

　　数学教学不只是传授数学知识，更重要的是培养学生获取新知识的能力，并使知识处于一个优化的知识结构里面，不会处于“游离状态”.在数学教学中，我们应做到： 例题教学，暴露真实思考过程；公式探究，渗透思想方法；习题诊断，展示思维过程；问题设计，引起数学思考；鼓励合作，交流应用过程.充分暴露数学思维的过程，把知识的产生、形成过程展现给学生，这是一条根本的途径.
　　
　　一、例题教学，暴露真实思考过程
　　
　　挫折和失败能锻炼人的意志，能使人变得“聪明”起来.教师在分析几何证明题时，从学生的实际水平出发，有意识、有目的地带领学生走一些“弯路”，使学生经历“挫折”锻炼.当一条路走不通时，回头再走另一条路，若走的仍是“死路”，就再换一条路线，直至找到正确的路.如果对学生能经常进行这样的训练，那么当他们一旦以一种方法证题未果时，就不会发慌、急躁，甚至失去了继续证题的信心，而会冷静地再换一个角度分析问题，寻找新的“出路”.
　　比如，在讲解以下这道题时，我就不急于告诉学生答案，不给学生认为老师怎么一眼就能看出解题过程的感觉，而是带领学生经历诸多“挫折”，从挫折中找寻正确的答案.
　　例题：如图，在△ABC中，分别以AB、BC、CA为边在BC的同侧向外作正三角形ABD、BCE、CAF.求证：DC=BF.
　　分析：要证明DC=BF，只须证明它们所在的两个三角形全等，即△DCB、△DCA中的一个与△BFC、△BFA中的一个全等，且DC与BF是对应边.
　　先考虑△DCB与△BFC，它们只有一个相等条件：公共边BC，DB与CF不一定相等，所以无法证明它们全等.再考虑△DCB与△BFA，它们也有一个相等的条件：BD=BA，再也找不到其他相等的条件了，无法证明它们全等.接着考虑△DCA与△BFC，它们有一个组边相等：AC=CF，其他相等条件不具备，无法证明它们全等.在走了这么多的“弯路”之后，再继续分析.再看△DCA与△BFA，在这两个三角形中，已经有AC=AF，AD=AB，知道了两个“S”时有两种思路：“SSS”和“SAS”，若要用“SSS”，就需知道或证明第三个“S”，但第三个“S”就是我们需要证明的，所以不能用“SSS”证明全等.因此，只能用“SAS”来证明它们全等.
　　经常进行这样的教学，能使学生对解题过程有一个正确的认识，使他们清醒地认识到解题过程实际上是一个摸索、探索、尝试的过程，不可能每次都那么“巧”，当以某种方法无法使问题获解时，不应手忙脚乱、丧失信心，应该学会换一个角度去思考，直至问题获解.
　　
　　二、公式探究，渗透思想方法
　　
　　数学教学中通过学生与老师心与心的交流，能产生心灵的感应，引起心弦的共振，使学生在体验、感悟的过程中不知不觉地去学习数学，使学生的思维不断得到发展.
　　例如浙教版七年级下册“用乘法公式分解因式”第一课时“用平方差公式分解因式”.
　　用一张如图1的纸剪拼成长方形，你认为应该怎样剪？你能给出数学解释吗？
　　
　　一个学生想到剪下一个小的长方形，放到长方形的另一侧，得到一个大的长方形（如图2），由于原图形的面积为a2-b2，而拼成的长方形的长为a+b，宽为a-b，则有a2-b2=（a+b）（a-b），而另一个学生说可剪成两个梯形（如图3），不也可以拼成长方形（如图4）吗？也能得到a2-b2=（a+b）（a-b）.
　　
　　这时，老师小结了平方差公式的几何意义，之后，让学生想一想，还有没有其他不同的想法可以来表示平方差公式的几何意义.下面有几个学生在本子上画着，讨论着，兴致很高.
　　学生A迫不及待地站了起来：“老师，这样表示可以吗？”原来，此学生将原图形拼成了平行四边形（如图5），利用平行四边形的面积公式：底乘以高，也能得到a2-b2=（a+b）（a-b）.
　　学生B兴奋地说：“老师，也可以拼成梯形（如图6），上底为2b，下底为2a，高为（a-b），能得到a2-b2=（a+b）（a-b）啊 ！”
　　
　　学生C接着说：“老师，我认为根本不需要拼接，剪成两个相等的梯形，一个梯形的面积为，两个梯形面积的和就是（a+b）（a-b） .”是啊，怎么大家都想去拼成一个图形，可能前面的提法抑制了学生的思维发展，实际上直接分成的两个梯形面积相加不是更好吗？只要学生自己想学、想知道问题的解决方法，不正是我们课堂所期望的吗？
　　用图形的面积来解释平方差公式的变形，这是一种学生易于接受的方式，也是对数形结合思想的进一步渗透.事实上，图形的面积和代数恒等式之间的关系也是“面积法”解题的本质，但不是点到为止，仅仅局限于拼成长方形，而是让学生去思考还有哪些不同的拼法也能说明平方差公式的几何意义.这样让学生有意识地去探究，去寻求解决问题的方法，可以使学生的思维空间被打开，有助于提高学生的思维能力.
　　
　　三、习题诊断，展示思维过程
　　
　　在教学中，教师在为学生纠谬救失时，不要过早地下结论，不要过早地点明，应该从暴露学生失误原因入手，启发学生自我发现，自我感悟，自我纠正，以便从深层次上做诊断和矫治.
　　生：老师，我知道了， 以后再也不会出现这样的错误了.
　　在习题诊断中，教师应引导学生用自己的语言说出解决问题的过程和策略，给足学生说话的机会和时间，鼓励学生积极地说，大胆地说，充分暴露他们的思维过程，以便发现新的更好的解法以及寻找错误的原因.试想，如果教师不去问，不去让学生说出自己的思维过程，就失去了了解学生思维过程的机会，也失去了学生自由表达数学思想提高自信心的机会.
　　
　　四、问题设计，引起数学思考
　　
　　问题串的设计可以展示知识的形成与发展的过程，为学生的学习搭梯架桥，通过学生的解答可了解学生全面的学习状态.
　　如在分式方程解法教学时，我设计了下面的问题串：
　　（3）你得到的值是方程的解吗？
　　（4）以后再解分式方程时你有什么经验？
　　（5）请你总结解分式方程的步骤.
　　问题（1）为学习新知识做铺垫；问题（2）尝试运用旧方法解决新问题；问题（3）学生通过检验发现新旧知识之间的区别，通过发现错误得到提高；问题（4）对学生的经验加以强化；问题（5）使学生解决问题的经历条理化、系统化，从而获得新方法.根据学生对以上问题的回答，不仅可以对学生的知识储备、思维水平得到全面的了解，还可以看出学生是否能利用类比、转化等思想方法获取新知识，能否对自己的思考过程进行总结与反思，从而改变了传统的重结果轻过程的评价.
　　
　　五、鼓励合作，交流应用过程
　　
　　有的教师可能已经把教材内容讲明白，概念、例题、重点、难点、注意事项面面俱到，课堂上尽量减少学习的困难，让学生走了一条平坦的路.把学生当作知识的储存器，以后他们一直需要得到老师的指导才能完成面前的学习任务.只顾及短期教育目标，学生获得后继知识的再生能力无法提高.教师要改变以例题示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动中，使学生在学习过程不受教师“先入为主”的观念制约.应有足够的时间供学生思考，给学生以尽可能交流学习的机会.
　　在学习了直线和圆的位置关系之后，为提高学生学习综合运用知识的能力，课堂设计提出如下题目：
　　好的学生不希望别人告诉他应该怎样解.教师讲得越多，学生就越笨.数学教学是数学思维的教学，学数学的过程是学生头脑中构建数学认知结构的过程，是学生的一种自主性行为，用自身的创造活动感受数学是做出来的，不是教出来的.
　　师：以上两位同学用不同的方法解出了这道题，很好.还有其他解法吗？（原以为完满结束解题的学生又开始紧张地思考.）垂直条件可否利用？（教师指导多少应根据学生的实际水平而定.）
　　生3： 连结AO、BO、CO（如图9），利用面积关系：Ｓ△ABC=Ｓ△ABO+Ｓ△BCO+Ｓ△ACO，得：AB・BC= r (AB+BC+AC) , 本题目可解.（最后教师引导分析一题多解的思维过程略.）
　　 本例通过以一题多解激发学生的学习兴趣和探索精神，让学生积极参与整个教学过程，培养学生综合解题能力.学生的表现告诉我们一个道理，为了取得教学过程与知识的形成发展过程、学生的思维过程同步协调的理想效果，离不开灵活多样的教学方法、教学手段的配合，单纯运用讲授法往往达不到目的，要适当采用动手实践、自主探索、合作交流、提问质疑等方法，才能充分发挥学生主体参与作用，才能够激发学生的学习兴趣.
　　
　　（作者单位：浙江省平阳县实验中学）
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