高中数学问题情境创设的案例剖析:高中数学问题情境创设

　　《普通高中数学课程标准（实验）》在“实施建议”部分对教师教学提出：“教师要创设恰当的问题情境，鼓励学生发现数学规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程”．那么新课程实施以来教师在实际课堂上有关数学问题情境创设的现状如何？创设什么样的数学问题情境更有利于学生的学习？这些都是值得我们去探究的问题．�
　　2007年9月至2007年12月笔者利用在金华K中学做调查研究的机会共听取了高一、高二两个年级四位教师的50节数学课．经过课堂观察发现目前教师们或精彩或失败地创设着各种各样与学生数学学习内容有关的问题情境．出于保密原则，以下案例中出现的四位教师采用了字母代号：A老师、B老师、C老师、D老师．�
　　个案１ 课型：新授课�
　　授课内容：人教A版数学必修一函数单调性第一课时师：（出示ppt）大家一起来看看ppt上显示的三个图有什么特征？如图1�
　　
　　图1
　　（下面学生互相交流着什么，但没人回答）�
　　师：（面带笑容）那你们一般观察一个人会观察他什么？�
　　SS：（这下气氛活跃了）看身材、看脸蛋、看眼睛……�
　　师：确实可以看很多东西，但我们说眼睛是心灵的窗户，所以观察事物时就应该寻找最能体现它特征的东西，观察函数也一样，那么大家来说一下你们看到了什么？�
　　S�1：第一个图有0个顶点，第二个有三个顶点，第三个也有三个顶点．�
　　师：哦，S�1自己引出了一个与顶点有关的问题．那么还有没有别的特点呢？�
　　S�2：图一关于原点对称，图二不关于原点对称，图三关于y轴对称．�
　　师：S�2同学看到了对称性的问题，那还有没有其他的特征呢？（片刻后，学生无反映）．�
　　师：如果要画一个函数草图应该如何画？知道哪些就可以画一个函数的大致图像呢？（几分钟过去学生依然不知道回答什么）�
　　师：（看了一下手表）如果我们知道一个函数图像的变化趋势，即图像的大致走势是不是就可以画出来了．如图一中可看出图像一直处于上升趋势；图二先上升后下降又上升再下降，以后我们不用上升或下降这样的字眼而是用随着x的增大，y的值有什么变化来描述，这就是今天要学习的函数单调性，当然S�1和S�2提出的两个特点分别涉及到了以后要学习的函数最值与函数的奇偶性问题．�
　　【 剖析 】：A老师创设问题情境的本意是想让学生自己经历观察、感知等行为发现随x的增加，函数值相应的变化情况并以此引入增函数与减函数的概念．我们看到这样的设计意图确实发挥了学生的创造性、发散性思维以及个体的差异性，学生的灵光一现得到教师的肯定，促使学生乐意学，但由于后面所提问题的导向性不够清晰，十几分钟时间过去学生依旧没能明白教师究竟想要得到什么特征，最终出现冷场的局面．教师最后若把问题改为“从三幅图中同学们能不能看出自变量x和函数值之间的变化规律？”从而引导学生观察并发现自变量x与函数值之间的关系．这样先前的提问发挥了学生的创造性思维，如S�1与S�2的回答就是一个很好的例子．最后的引导则使学生很快进入新的学习内容．因此让学生在一个不具有“问题”导向的情境中去发现问题和解决问题，这几乎是难以进行的数学活动，所以教师在问题情境创设时必须使问题有针对性和导向性，提高课堂教学效率．�
　　个案２ 课型：新授课�
　　授课内容：人教A版数学必修三中的算法语句第一课时�
　　例4：编一个程序，交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值．�
　　师:大家一起来看这个问题，这是以后我们经常要遇到的重要问题，也就是如何交换A,B的值．�
　　SS：输入A,输入B,然后A=B,B=A．�
　　师：那么这样做行吗？大家再想想这样真的交换了A与B的值了吗？�
　　SS：不对，这样输出的都是B或A的值了．�
　　师：那么这个问题就如同日常生活中的两瓶红、黑墨水，你想交换两者，可不可以直接把黑的倒到红的瓶里，再倒回来？�
　　SS：应先把其中一瓶倒入一个空瓶，再交换．�
　　
　　图2
　　师：也就是说要借助空瓶才可实现交换，所以这里也应该引进一个变量T．首先把红墨水倒入空瓶T中，接着把黑墨水倒入原先装有红墨水的瓶中，最后把空瓶T中的红墨水倒入原先装有黑墨水的瓶中，图示如下（在黑板上画图如图2）�
　　因此上述A与B的交换问题该如何抽象为数学符号语言？�
　　SS：T=A,A=B,B=T（学生齐声说出了答案）．�
　　【 剖析 】：
　　《标准》在教学建议第四条中指出：“注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力．”建议教师在数学教学中通过实例引入数学知识．案例2中老师能联系学生的实际，从学生的生活经验和已有的认知水平出发，借助生活中倒墨水的情境自然引导学生引入变量T，实现了抽象、具体再抽象的过程，从上面学生的大声且正确回答中可看出这样的设计易于学生的理解与思考．因此当学习情境来自学生认知范围内的现实生活时，学生能更快，更好地进入学习状态，即数学情境的创设应处于学生思维水平“最近发展区”，与学生已有的数学认知发展水平相适应即可提高学生的学习效率．�
　　个案3课型：新授课�
　　授课内容：人教A版数学必修三中的几何概型第一课时�
　　问题：甲、乙两人玩转盘游戏，规则：指针指向B区域时，甲胜，否则乙胜．若甲想获胜，他会选择哪个转盘进行游戏？此概率模型是古典概率模型吗？（如图3）�
　　
　　图3
　　师：大家一起来看这个问题,(一分钟后)如果甲想获胜的话,�
　　他会选哪个转盘?�
　　SS：第二个．�
　　师：为什么呢？�
　　SS：面积大．�
　　师：那如果我把第一个转盘放大，又会出现什么结果？�
　　SS：还是选第二个．�
　　师：那是不是谁面积大就选谁？�
　　SS：不是，应该看比例，比例大的获胜的机会就大．�
　　师：就是说用浅色区域的面积与整个圆盘面积的比例来考虑．那么�
　　你会不会算它们各自获胜的概率？�
　　SS：第一个是12，第二个是35．�
　　师：怎么算的？第一个12是不是36，是不是用块数之比得到的？�
　　SS：不是，是用面积之比，第二个也是这样得到的．�
　　师：古典概型基本事件的特点是什么？�
　　S�1：特点是等可能，有限性．转盘转动到每个位置都是等可能的．�
　　师：既然是等可能的，那为什么这里不能用古典概型来算？转盘转动时它的指针又与什么相对应？�
　　S�1：与圆上的某个点相对应．�
　　师：所以它的基本事件总数是？�
　　SS：是圆周上的每一个点．�
　　师：取圆周上的点，总共有多少个可以取？�
　　SS：无数个．�
　　师：所以不能用古典概型的原因出现在？�
　　SS：出现在有限性上，现在这个基本事件总数是无限的．�
　　师：既然是无限的就不能一个个列举出来．刚才有同学说可用面积来比，那还可不可以用其他的东西拿来比呢？�
　　S�2: 用长度来比．�
　　师：是的，我们说既然和圆周上的点有关，那就可以用这些在B区域的点所形成的长度与整个圆的周长的比来求得哪个转盘获胜的机会更大．从这里可以看出像长度、面积等几何量也可以帮助我们解决概率问题，这就是今天要学习的几何概型．�
　　【剖析】：个案3的老师精心设计问题情境，让问题处于学生思维水平的最近发展区．首先用初中学习并接触过的转盘游戏引入新课，通过让学生回忆已学习过的古典概型的特点，引导学生发现此问题不能用古典概型知识解决的原因，使学生体会古典概型与几何概型之间的联系与区别，以此激发学生学习新知的兴趣．同时以问题为导向逐步引导学生在解决问题的过程中发现几何概型的概念，概括几何概型的概率计算公式，体现了“数学活动是数学思维活动的过程教学”． �
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　　授课内容：人教A版数学必修四弧度制第一课时�
　　师：你们知道温度有几种计量方法？�
　　SS：两种，一种是摄氏度，另一种是华氏度．�
　　师：我们学过的角度也有两种计量方法，一种是已学过的角度制，另一种是我们今天要学习的弧度制．有些同学在想为什么要引入弧度制，究竟有什么作用？（未等学生作答）其实是让角度和实数一一对应起来．一弧度是怎么规定的，大家自己看看书．�
　　师：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度．因此当弧长为半径r时，圆心角为1弧度，记为1 �rad�,那么当弧长分别为2r，3r,πr，2πr 时，他们所对应的圆心角分别是？（教师自问自答并板书如下）�
　　弧长 圆心角�
　　r1�rad��
　　2r2 �rad��
　　3r3 �rad��
　　πrπ �rad��
　　 2πr2π �rad��
　　到底弧度与角度有什么样的关系，是否可列出一个等式？我们一起来看一下，从上述表格可以得到：360°=2π �rad�，180°=π �rad�于是可以得到�1�rad��=180°π≈57.30°≈57°18′，从上面我们列的表格中还可以得到什么关系呢？（未等学生对上述关系的反映教师便自己得出了另一关系）我们看到弧长除以半径是不是等于圆心角的弧度，因此我们用α表示圆心角所对应的弧度数，于是就得到�l=|α|r�．（下面很多学生听的一头雾水，好几个学生自己在下面换算弧度制与角度制之间的关系）�
　　剖析：
　　学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战的，应有利于学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动．而个案4的老师在创设问题情境过程中急于把问题结果展示给学生，留给学生自己思考的时间几乎为零，导致学生听得一头雾水，不知教师所云为何事．同时问题的设置也没有体现一定的教学目标，教师忽视了弧度数也有正负之分，教师只对正弧度数进行了分析这不利于学生对弧度制概念的本质理解．书本上给出了一个探究的数学学习问题情境，通过问题引导学生自己去观察（包括看图与看表）、填表、分析、猜想最后得出角α的弧度数的绝对值与圆心角α所对弧长l与半径r之间的关系以及弧度制与角度制之间的转化（探究情境参考人教A版数学必修四）．这样的设计有利于学生的主动参与，俗话说“听来的不可信，看来的不真实，亲身经历的难忘怀”．因此只有当数学情境在内容上富于挑战性和探索性，问题创设以一定的数学知识点为依托，才有利于学生的主动探索及对知识的本质理解和掌握．�
　　在教学中，数学问题情境的创设是一个涉及素材的选取、内容的组织和呈现、以培养
　　学生创新意识和提高学生的数学思维能力为主要目的的过程．四个个案给我们的启示主要有以下几点：�
　　（1） 数学问题情境创设的素材可以源于生活、源于数学自身，还可以源于其他相关学科，只要有利于学生学习的数学情境就是好情境；�
　　（2） 数学情境的创设要以问题为核心，以问导学；�
　　（3） 数学问题情境的创设要以一定的数学知识点为依托，有利于学生对相关数学知识和思想方法的掌握；�
　　（4） 情境的创设必须与学生已有的数学认知发展水平、思维能力相适应；�
　　（5） 创设的情境要有利于学生的主动探索，使学生经历知识形成的过程．�
　　
　　参考文献�
　　1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)［S］.北京:人民教育出版社,2003�
　　2 国家数学课程标准研制工作组.国家数学课程标准(实验稿)［M］.北京:北京师范大学出版社,2001�
　　3 刘绍学,钱佩玲,章建跃.普通高中数学课程标准实验教科书.数学必修1―4［M］.人民教育出版社(A版),2007�
　　4 夏小刚,汪秉彝.数学情境的创设与数学问题的提出［J］.数学教育学报,2003［12(1)］
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