[以抛物线为背景的几何综合题]抛物线综合题
抛物线与几何图形相结合是近年来中考压轴题的一种重要题型，在2007年中考全国各地试题中，二次函数与几何问题相结合的综合题不断增多．这类试题，涉及二次函数与几何中的三角形、四边形、相似三角形、圆等有关知识．它有较强的综合性和灵活性，能有效考查学生掌握学科知识的情况，能体现学生运用已学知识进行分析问题和解决问题的能力．下面以2007年中考题中的抛物线与几何图形相结合的压轴题为例加以说明．�
1 抛物线与三角形�
例1 如图1，已知抛物线y=－23x�2+43x+2的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．�
图1
（1）求点B和点C的坐标；�
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．�
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．�
解析：（1）把x =0代入y=－23x�2+43x+2得点C的坐标为C（0，2），�
把y =0代入y=－23x�2+43x+2得点B的坐标为B（3，0）．�
（2）连结OP，设点P的坐标为P（x，y），�
S��四边形OBPC�=S��△OPC�+S��△OPB�=�
12×2×x+12×3×y =�
x+32（－23x�2+43x+2）=�
－x�2+3x+3�
因为 点M运动到B点上停止，�
所以0≤x≤3．�
所以S=－（x－32）�2+34（0≤x≤3）．�
（3）存在．�
BC=OB�2+OC�2=13．�
① 若BQ = DQ，�
因为 BQ = DQ，MQ是BD的垂线，M是DB中点，所以 x�Q=x�M=2.所以QM =23�
所以Q的坐标为Q （2，23） ． �
② 若BQ=BD=2�
因为 △BQM∽△BCO，�
所以 BQBC=QMCO=BMBO,�
所以 213=QM2,所以 QM =41313,�
因为 BQBC=BMOB,所以 213=BM3�
所以 BM =61313, 所以 OM = 3－61313,�
所以Q的坐标为Q （3－61313，41313）.�
评析：本题是以抛物线为背景与等腰三角形相结合的综合性试题，涉及的有二次函数的性质、求点的坐标、相似三角形等有关知识点．考查了数形结合、分类讨论、问题转化、函数等数学思想和方法．�
2 抛物线与一般平行四边形�
例2 （浙江省绍兴市2007）如图2，在平面直角坐标系中，O为原点，A（2，0）、C（1，33）．将△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置．抛物线y=ax�2－23x经过点A和点B，点D是该抛物线的顶点．�
图2
(1)求a的值，点B的坐标；�
(2) 若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；�
(3) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标(直接写出答案即可)．
�
简解：（1）由平行四边形OABC得B的坐标为（3，33）；�
（2）因为D（1，-3），由△APD∽△OAB得AP=23，所以P（43，0）；�
（3）点P的坐标为（-1，0）或（1，0）或（3，0）．�
评析：本题是以抛物线为背景与平行四边形相结合的综合性试题，涉及的有二次函数的性质、求点的坐标、用待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定和性质等有关知识点．考查了数形结合、分类讨论、问题转化、函数等数学思想和方法．�
3 抛物线与特殊平行四边�
例3 （河南省2007）如图3，对称轴为直线x=72的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．�
图3
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；�
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；�
① 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？�
② 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．�
简解：（1）抛物线解析式为y=23(x－72)�2－256，顶点为(72,－256).�
（2）因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是1＜x＜6．�
① 求的点E有两个，分别为E�1（3，－4），E��2 �（4，－4）．
点E�1（3，－4）满足OE = AE，所以�OEAF是菱形；
点E��2�（4，－4）不满足OE = AE，所以�OEAF不是菱形．�
② OA⊥EF，且OA = EF时，�OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使�OEAF为正方形．�
图4
例4 （四川省巴中市2007）如图4，以边长为2的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线y=x�2+bx+c经过点B且与直线AB只有一个公共点．�
（1）求直线AB的解析式．�
（2）求抛物线y=x�2+bx+c的解析式．�
（3）若点P为（2）中抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，问是否存在这样的点P，使△PMC～△ADC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．�
简解：（1）y=－x－1(2)y=x�2－x－1 (3)P(0,-1)、（2，1）、(-2,2+1).�
评析：上述两题是以抛物线背景与特殊平行四边形相结合为的综合性试题，主要考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一元二次方程的解法、菱形（正方形）的判定与性质、点坐标与函数解析式的对应关系等有关知识．它是一个存在性问题的探究，要求学生通过具体的计算验证后，否定了问题的存在，单用猜想解决不了问题．有效考查了学生的逻辑思维能力和综合分析问题解决问题的能力．�
4 抛物线与圆�
例5 如图5，在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．�
图5
（1）求直线CB的解析式；�
（2）若抛物线y=ax�2+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；�
（3）试判断点C是否在抛物线上？�
（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．�
解析：连结AC，则AC⊥BC．�
因为OA=2，AC=4，所以OC=23． �
又 �Rt�△AOC∽�Rt�△COB，�
所以AOOC=OCOB． 所以OB=6．�
所以点C坐标为(0，23)，点B坐标为(－6，0)．设直线BC的解析式为y=kx+b，�
可求得直线BC的解析式为y=33x+23．�
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
图6
（2）如图6，由题意得，⊙A与x轴的交点分别为E(－2，0)、F(6，0)，抛物线的对称轴过点A为直线x=2．�
因为 抛物线的顶点在直线BC上，�
所以抛物线顶点坐标为(2，833)．�
y=a(x－2)�2+833，�
因为 抛物线过点E(－2，0)，�
所以0=a(－2－2)�2+833，解得a=－36．�
所以 抛物线的解析式为y=－36(x－2)�2+833，即y=－36x�2+233x+23．�
（3）点C在抛物线上．因为抛物线与y轴的交点坐标为(0，23)，如图6．�
(4) 存在，这三点分别是E、C、F与E、C�1、F，C�1的坐标为（4，23）．即△ECF∽△AOC、△EC�1F∽△AOC，如图6．�
例6 如图7，抛物线y=12x�2+mx+n交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是－3，点B的横坐标是1．�
图7
(1)求m、n的值；�
(2）求直线PC的解析式；�
(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．(参考数：2≈1.41，�
3≈1.73，5≈2.24)�
(1)由已知条件可知： 抛物线y=12x�2+mx+n经过A(-3，0)、B(1，0)两点．�
所以0=92－3m+n,�0=12+m+n.�
解得 m=1,n=－32．�
(2) 因为 y=12x�2+x－32，�
所以P(-1，-2)，C(0,－32)．�
设直线PC的解析式是y=kx+b，则－2=－k+b,�b=－32. 解得k=12,b=－32． �
所以直线PC的解析式是y=12x－32．�
说明：只要求对k=12，b=－32，不写最后一步，不扣分．�
(3) 如图，过点A作AE⊥ PC，垂足为E．�
设直线PC与x轴交于点D，则点D的坐标为�(3，0)． 在�Rt�△ OCD中，因为OC=32，OD=3，�
所以CD=(32)�2+3�2=325．�
因为OA=3，OD=3，所以 AD=6．�
因为∠ COD=∠ AED=90°，∠ CDO公用，所以 △ COD∽△ AED． �
所以OCAE=CDAD， 即32AE=3256． 所以AE=655． 因为655≈2.688＞2.5，所以以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． �
评析：上述二题是以抛物线为背景与圆相结合的综合性试题，涉及的有二次函数的性质、求点的坐标、用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质、圆的对称性、直线与圆的位置关系等有关知识点．考查了数形结合、分类讨论、问题转化、函数等数学思想和方法．
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文