基本不等式常见错误_不等式问题常见错误剖析

　　不等式是中学数学的重要内容之一，它已经渗透到中学数学的很多章节中，是解决某些数学问题的有利工具，同时不等式在实际问题中的应用也很广泛，这些使它成为高考中常考不衰的一个热门考点。但在处理不等式问题时，学生往往会忽视一些问题，从而导致解题错误。下面我就结合实例，对不等式问题常见的错误进行剖析。
　　例1：已知2＜a≤3，-2≤b≤-1，求a+b，a-b，■的范围。
　　错解：∵2＜a≤3，-2≤b≤-1，
　　∴0＜a+b≤2，4＜a-b≤4，-1＜■≤-3。
　　剖析：错解在运用不等式性质时忽视了不等式性质成立的必要条件。另外，同向不等式相加，不等号方向不变，而这一规则对于相减、相除则是行不通的。
　　正解：∵2＜a≤3，-2≤b≤-1，∴0＜a+b≤2，而1≤-b≤2，∴3＜a-b≤5，又∵-1≤■≤-■且2＜a≤3，∴-2＜■≤-■。
　　例2：已知x、y为正实数，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。
　　错解：∵2x+8y=xy≥2■=8■，
　　∴■≥8或■≤0（舍去），
　　∴xy≥64，∴x+y≥2■≥16。
　　剖析：上述方法在求解过程中两次应用了基本不等式，第一次等号成立的条件为2x=8y，即x=4y，而第二次等号成立的条件是x=y，即两次等号不能同时成立，所以无法取到最小值。
　　正解：由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，∴■+■=1，∴x+y=(x+y)(■+■)=10+■+■≥10+2■=18，当且仅当■=■，2x+8y-xy=0，即x=12，y=6时，x+y取得最小值18。
　　例3：求函数y=■的最小值。
　　错解：y=■=■+■
　　≥2■=2，
　　∴此函数的最小值为2。
　　剖析：此题中应用了基本不等式，取得最值的条件应是■=■，即x2+4=1。而事实上，不存在这样的实数满足等式，即2不是此函数的最小值。
　　正解：令t=■，则t≥2，∴y=t+■（t≥2），此时利用函数的单调性求解，∵y=t+■在t≥2时为增函数，∴当t=2时，即x=0时，函数取得最小值■。
　　（责编 张晶晶）
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文