算法思想在高中数学教学中的渗透 高中数学知识点总结

　　算法思想是现代人所应该具备的一种数学素养，高中教师应把握让中学生理解算法思想这一本质，在数学教学中渗透算法思想，让学生体会算法思想，并将算法思想融入到自己的生活中．�
　　
　　算法作为一个全新的课题，已经成为计算科学的重要基础，它在科学技术和社会发展中起着越来越重要的作用，算法的思想已经成为现代人所具备的一种数学素养，每一个高中学生，都应该在九年义务教育的基础上，为适应时代发展的需要，进一步提高自身的数学素养．本次高中数学课程改革将“算法初步”列为高中必修课程内容的一部分，既体现了现代社会使公民具有较高数学素养的要求，也是基础数学教育改革面向世界、面向未来、面向现代化的体现，是历史的必然．�
　　
　　1算法概念及算法基本思想的理解�
　　
　　算法：（algorithm）一词出现于12世纪，指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程．在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．�
　　算法的基本思想是程序化思想．要理解算法的基本思想，一定要把握算法的主要特征：�
　　（1）有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的．�
　　（2）确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果．�
　　（3）顺序性和正确性：算法从初始步骤开始分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．�
　　（4）不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法．�
　　（5）普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决．�
　　
　　2算法思想在教学中的渗透�
　　
　　2．1算法思想在算法概念教学前的渗透�
　　首都师范大学王尚志教授在新教材课程培训中说：“我们有一个更重要的想法，就是把算法的思想贯穿于教材的自始至终，凡是能够用算法表示出来的东西，我们尽量用算法表示出来，之所以强调这些，与我们中国的数学教学传统是一脉相承的．”《算法初步》内容安排在高中数学必修3中进行教学，在进行必修1、必修2的教学时，可以提前介入算法的思想，把解决问题的步骤算法化，既有利于后续学习，也有利于学生理清解决问题的思路和规范解决问题．中学数学中有很多内容是和算法内容密切联系在一起的．一般情况下，能够利用概念、公式或者定理、法则来解题的过程都可以看成算法的过程，都可以用程序框图或程序语言来描述，比如线性方程组的解法，求一元二次方程的根，还有函数奇偶性、单调性的判定，数列求和，等等．�
　　例1用算法框图描述判断一个函数奇偶性的步骤．�
　　算法分析:�
　　第一步:判断f(x)定义域是否对称，若否，则f(x)非奇非偶，若是，则执行第二步;�
　　第二步:计算f(-x)，判断f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=f（x）①，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)②则f(x)是奇函数;若①②都成立，则f(x)是既奇又偶函数:若①②都不成立，则f(x)是非奇非偶函数，如图1.�
　　《标准》要求在教学中应注意挖掘教材，合理选择相关内容渗透算法．在其他内容中渗透算法的目的有两个:一方面借助直观的算法表示(比如程序框图)，有利于学生更好地理解该内容;另一方面也有利于学生进一步学习算法，体会算法思想．�
　　
　　2．2在算法教学中，加强算法思想学习�
　　2．2．1选取教学例子时要合理定位�
　　【1】选取的例子来自学生已学过的数学知识，要贴近学生学习“最近发展区”．选择这样的问题，一方面是期望打破学生对算法的陌生感，另一方面也是希望将重点放在算法的理解上，而不是算法所涉及的问题本身，这样，学生就易于理解算法的程序化思想．�
　　如例2有一函数y=－1(x＜0)�0(x=0)�1(x＞0)画出流程图,输入一个x值,一个y值.�
　　解答用变量x、y分别表示自变量和函数值，算法步骤如下：�
　　
　　【2】选取的例子要有一定的基础，不要偏难偏怪，但要蕴涵丰富的算法思想，能够让学生从中学习算法的“三基”―基本思想、基本结构、以及基本语句．�
　　例3给出1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的算法，并画出流程图�
　　算法分析�
　　第一步：取n=10.�
　　第二步：计算n(n+1)2.�
　　第三步：输出运算结果.（如图3）�
　　
　　【3】选取的例子要蕴涵中国传统数学思想，贴近学生的生活，并且要有一定的趣味性，能增强学生学习算法的积极性，激发探究算法知识的兴趣，利于学生对算法思想的理解．�
　　例4意大利数学家裴波那契，在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题：一对兔子饲养到第二个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔，问这样下去到年底应有多少对兔子？试写出解决此问题的算法及相应的流程图．�
　　分析：根据题意可知，第一个月有1对小兔，第二个月有1对成年兔子，第三个月有两对兔子，从第三个月开始，每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数之和，设第n个月有s对兔子，第n-1个月有i对兔子，第n-2个月有j对兔子，则有s=i+j,一个月后，即第n-1个月时，式中变量i的新值应为第n个月兔子对数（s的旧值），变量j的新值应变为第n-1个月兔子的对数（i的旧值），这样，用i+j求出变量s的新值就是n+1个月兔子的对数，以此类推，可以得到一个数序列，数序列的第12项就是年底应有兔子对数，我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1，以此为基准，构造一个循环结构，让表示“第x个月的k从3逐次增加1，一直变化到12，最后一次循环得到的s”，就是所求结果．�
　　算法步骤如下：�
　　第一步：输入i,j,k.�
　　第二步：i=1,j=1,k=3.�
　　第三步：判断k≤12是否成立，�
　　若k≤12不成立，则输出s.�
　　第四步：若k≤12成立，则s=i+j.�
　　第五步：i=s,j=i.�
　　第六步：k=k+1�
　　第七步：回到第三步，重新执行第三步、�
　　第四步、第五步、第六步.（如图4）�
　　
　　2．2．2结合数学史内容，加深算法思想的学习和理解，培养学生的数学精神�
　　算法是中国古代数学的精髓，很多数学典籍中都包含一些经典的实例及其算法．如《九章算术》及其刘徽注等中的算法思想，以及“贾宪三角”(二项式定理系数表)与“增乘开方法”(即其后欧洲所讲的“霍纳法”)，“秦九韶程序”(高次方程数值解法)，“垛积术”(高阶等差级数求和)与“招差术”(高次内插法)，“大衍求一术”和“大衍总数术”(一次同余组解法)，“天元术”(数字高次方程组的立法)和“四元术”(高次方程组的解法)等算法，这些古代数学中的算法，其算法思想对我们今天数学问题的解决有极大的启发作用．要重视介绍计算机算法对现代数学研究和发展的作用．如吴文俊先生怎样从中国古代数学的算法思想中汲取营养，推陈出新，首先用计算机算法实现了几何定理的机器证明，以及用吴氏机械算法对数学的贡献和进展�
　　2．2．3算法思想的学习和理解过程中学生学习误区�
　　①学生在写“判断53，1997是否为质数”的算法步骤，如：�
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　第1步，2不能整除53，所以进行下一步；�
　　第2步，3不能整除53，所以进行下一步；�
　　第3步，4不能整除53，所以进行下一步；�
　　……�
　　第52步，5不能整除53，所以进行下一步；�
　　学生在写该步骤时，由于该算法步骤冗长，所以会采用“……”，由于（……）的不确定性，与算法所要求的“明确性”相悖，因而不能表示一个算法．�
　　②对于类似x=x+1的赋值语句，学生受思维定势的影响，往往将这个式子看成代数式，显然这是不成立的，所以，要让学生真正理解赋值的含义就需要理解变量的含义，这里的x仅仅是表示一个数值的存储位置，x=x+1使得这个存储位置上的值增加了1．�
　　教学时可以用下列的比喻帮助学生理解赋值语句x=x+1，如果用x表示一个房子中的人数，当房子中的人数有10人时，若再走进1人，房子中的人数就变为11，这时x=10+1．如果个房子中走进1人前与1人后的人数都用x表示，就得到x=x+1．因此，在赋值语句x=x+1中，“=”两边的x所表示的值是不同的．�
　　2．3在后续学习中，仍加强算法思想渗透�
　　算法的知识及思想是学生的终身发展所必需的,但是要求高中学生通过12课时就能系统地掌握算法的所有知识,形成非常成熟的算法思想,显然是不现实的,因此学习算法内容后,在后续学习中我们要多层次、多方位地将算法思想融入到课堂教学中，并鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题．如我们在学习统计概率知识时仍然引导学生将问题算法化.
　　
　　一枚硬币有正反两个面，掷硬币时每面朝上的机会均等，但在硬币落地之前，我们不能预知哪面朝上，这时我们说哪一面朝上是随机的．�
　　由函数rnd产生的随机数序列中，随机数值基本上是均匀分布的，也就是说，几乎有一半的数分布在0到0.5之间，其他一半数分布在0.5(包括0.5)到1之间，与此相仿，在掷硬币时，正面向上或反面向上的概率各占50%，所以我们可以用随机数模拟硬币的正反面，用rnd产生随机数（相当于掷硬币），如果随机数大于0.5（相当于正面朝上），输出“front”，如果随机数小于或等于0.5（相当于反面朝上），输出“back”，如果掷10次硬币，则产生10个随机数，这就是用随机函数来模拟掷硬币这一随机事件的算法．(如图5)�
　　
　　3结束语�
　　
　　高中教学应侧重于思想和方法的渗透，教学过程中要始终把握算法思想这一灵魂，其余内容均由此展开．通过学习，要让学生在自己的头脑里建构起“算法思想”，在自己的学习和生活中用来指导自己的行为．并以算法为线索经常反思所学过的数学知识或者其他学科的知识，即将算法思想融入自己的生活．�
　　
　　参考文献�
　　1刘绍学．普通高中课程标准实验教科书•数学3（A版）［M］．北京：人民教育出版社，2004�
　　2史炳星，王桂霞．算法初步［M］．北京：高等教育出版社，2005�
　　3李建华．算法及其教育价值［J］．数学教育学报，2004（8）�
　　4李亚岭．算法及其学习的意义［J］．数学通报，2004（2）�
　　5许梦日．高中数学“算法初步”部分与高校教学衔接问题的探究．阜阳师范学院学报（自然科学版），2007（3）
　　
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