典型方程的积分因子的解法:分式方程计算题

　　摘要：本文讨论了用求积分因子的方法求解几种典型的常微分方程，如变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等，先求出它们的积分因子，从而化为恰当方程来求解。　　关键词：变量分离方程；一阶线性方程；伯努利方程； 积分因子；恰当方程
　　中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）07-0173-02
　　通过《常微分方程》这门课的教学实践，我们知道大部分教材在讲述初等积分法这一章时，先讲述变量分离方程，其次再讲述齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程和恰当方程的求解，最后讲述了如果不是恰当方程，给出了求几种积分因子的方法（参见文献[1，2，3]）。为此先回顾恰当方程和积分因子的有关结论：[定理1.1] 如果M（x，y），N（x，y）在所定义的区间有连续的偏导数，则微分方程：M（x，y）dx+N（x，y）dy=0为恰当方程的充要条件是My=Nx，并且■M（x，y）dx+■[N-■■M（x，y）dx]=C就是恰当方程的通解，其中C为任意常数。[定理1.2] 如果函数M（x，y），N（x，y）和?滋（x，y）都是连续可微的，则?滋（x，y）为上述方程的一个积分因子的充要条件是（My-Nx）?滋=N?滋x-M?滋y。此等式是一个以?滋为未知函数的一阶线性偏微分方程，要求出?滋是很困难的，但在某些特殊情形下，可以利用定理1.2求出某些特殊形式的积分因子。在下文我们将求解几种典型的常微分方程，如变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程的积分因子。
　　一、变量分离方程的积分因子
　　[定义2.1] 形如■=h（x）g（y）的方程称为变量分离方程，其中函数h（x）和g（y）均假定在相应区间上连续。下面来讨论变量分离方程，如果存在y=y0使得g（y0）=0则y=y0是变量分离方程的一个特解。如果对任意y都有g（y）≠0在此种情况下，先假定g∈C1变量分离写为微分形式：h（x）g（y）dx-dy=0。令M（x，y）=h（x）g（y），N（x，y）=-1。则■=■=-■。所以变量分离方程有积分因子?滋（y）=e■=-■。如果g?埸C1可用光滑函数逼近g（y）同样求出相同的积分因子。应用定理1.1可求得其通解。总结上面的讨论可得：[定理2.1] 若函数h（x），g（y）在相应区间上连续且对任意y都有g（y）≠0，则变量分离方程有积分因子?滋（y）=-■。[推论2.1] 变量分离方程有如下形式的隐式通解-■h（x）dx+■■dy=C，其中C是任意常数。
　　二、齐次方程的积分因子
　　[定义3.1] 形如■=g（■）的方程称为齐次方程，其中g是连续函数。如果g（■）≠■，在此种情况下，先假定g∈C1，齐次方程写为微分形式g（■）dx-dy=0。 两边同乘以■，则得■dx-■dt=0。令M（x，y）=■，N（x，y）=-■则My=■=Nx。所以上述方程为恰当方程，因此根据定理1.1和定理1.2知方程有积分因子?滋（x，y）=■，其通解就是■■dx-■■-■■■■dxdy=C。如果g?埸C1，可用光滑函数逼近，同样求出相同的积分因子。如果g（■）=■，在此种情况下，齐次方程变为ydx-xdy=0易证明上述方程有积分因子?滋（y）=y-2或?滋（x）=x-2，其通解就是x-1y=C。总结上面的讨论可得：[定理2.1] 若g是连续函数，则（1）当g（■）≠■时，齐次方程有积分因子?滋（x，y）=■；（2）当g（■）=■时，齐次方程有积分因子?滋（y）=y-2或?滋（x）=x-2。[推论2.1] （1）当g（■）≠■时，齐次方程有通解■■dx-■■-■■■■dxdy=C。（2）当g（■）=■时，齐次方程有通解x-1y=C。
　　三、一阶线性方程的积分因子
　　[定义4.1] 形如■+p（x）y=q（x）的方程称为一阶线性方程，其中函数p（x）和在q（x）区间I连续。上述方程写为微分形式（p（x）y-q（x））dx+dy=0.令M（x，y）=p（x）y-q（x），N（x，y）=1。则■=p（x）所以有积分因子?滋（x）=e■，在微分形式两边同乘以?滋（x），则得e■（p（x）y-q（x））dx+e■dy=0上述方程为恰当方程，因此根据定理1.1知上述方程的通解为y=e■[C+■e■q（x）dx]，其中C是任意常数。[定理4.1] 若函数p（x）和q（x）在相应区间上连续，则一阶线性方程有积分因子?滋（x）=e■。[推论4.1] 一阶线性方程有形式为 y=e■[C+■e■q（x）dx]的通解。
　　四、伯努利方程的积分因子
　　[定义5.1] 形如■+p（x）y=q（x）yn的方程称为伯努利方程，其中n≠0，1， 函数p（x）和q（x）在相应区间上连续，q（x）≠0。其微分形式（p（x）y-q（x）yn）dx+dy=0，在这里假定y≠0，在微分形式两边同乘以y-n，则得（p（x）y1-n-q（x））dx+y-ndy=0，令M（x，y）=p（x）y1-n-q（x），N（x，y）=y-n则■=（1-n）p（x）所以方程有积分因子?滋1（x）=e■。因此有积分因子?滋（x，y）=y-ne■，在微分形式的方程两边同乘以y-ne■，则得（p（x）y-q（x）yn）y-ne■dx+y-ne■dy=0，上述方程为恰当方程，再令M（x，y）=（p（x）y1-n-q（x））e■，N（x，y）=y-ne■。因此根据定理1.1知此方程的通解为y={[C+■q（x）e■dx]（1-n）}■e■。[定理5.1] 若函数p（x）和q（x）在相应区间上连续，q（x）≠0，则伯努利方程有积分因子?滋（x，y）=y-ne■。[推论5.1] 伯努利方程有形式为y={[C+■q（x）e■dx]（1-n）}■e■的通解。
　　参考文献：
　　[1]伍卓群，李勇.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2004.
　　[2]高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1993.
　　[3]丁同仁，李承治.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2004.