求动点的轨迹方程 [求动点的轨迹方程 (2)]

第八节求动点的轨迹方程

[知识能否忆起]

1. 求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系；

(2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y ) ；

(3)列式——列出动点P 所满足的关系式；

(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简；

(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

2．求轨迹方程的常用方法：

(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F (x ，y ) ＝0；

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(4)代入转移法：动点P (x ，y ) 依赖于另一动点Q (x 0，y 0) 的变化而变化，并且Q (x 0，y 0) 又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．

1[例1] (2012·襄阳模拟) 平面内动点P (x ，y ) 与A (－2,0) 、B (2,0)两点连线的斜率之积为4

动点P 的轨迹方程为( )

x 22＋y ＝1 4

x 22＋y ＝1(x ≠±2)

4 x 22－y ＝1 4x 22－y ＝1(x ≠±2) 4

由题悟法

直接法求曲线方程的一般步骤

(1)建立合理的直角坐标系；

(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；

(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．

直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．

以题试法

典题导入

[例2](2012·长春模拟) 设圆(x ＋1) 2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )

4x 24y 21 2125

4x 24y 2－＝1 2521 4x 24y 2B. ＋＝1 21254x 24y 2

D. ＋＝1 2521

以题试法

2 (2012·郑州模拟改编) △ABC 的顶点A (－5,0) ，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上

求△ABC 顶点C 的轨迹方程．

典题导入

[例3] (2011·陕西高考) 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点

4D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝PD |. 5

(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；

4(2)求过点(3,0)且斜率为

的直线l 被C 所截线段的长度． 5

由题悟法

代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P 的运动与点Q 的运动相关，且点Q 的运动有规律(有方程) ，只需将P 的坐标转移到Q 的方程中，整理即可得P 的轨迹方程．

以题试法

3．(2012·河南模拟) 已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( )

A ．y 2＝2(x －1)

C ．y 2＝x －1 B ．y 2＝4(x －1) D ．y 2＝12(x －1)