三年级应用题大全800题_谈数学解题思维过程的展示

　　摘要：本文重点探讨了数学解题思维过程的必要性、方法及意义。 　　关键词：理解 转换 实施 反思 　　 　　一、展示数学解题思维过程的必要性 　　
　　教学中我们常可以发现，在课堂上教师分析解题思路头头是道，学生也听得津津有味，但让学生真正动手解题，仍是困难重重，略经教师“点拨”，便会恍然大悟，特别是高三数学复习课，这种现象更为严重。
　　例a，b∈R，证明a2+b2≥ab+a+b-1。
　　这是高三复习不等式的一道习题。教师先让学生做5分钟，发现大部分学生都知道配方，但配成(a-b)2≥(a-1)(1-b)后就陷入困境，而经教师提示“不等式两边同乘以2”，学生立即恍然大悟，至于为什么要乘以2却知之甚少。
　　再如高三教师在复习组合应用题时，有一道例题:求数360的正约数的个数。
　　教师分析时，只是考察了360中的质数2、3、5及个别约数的特性，如6、20分别含有一个2和一个3、两个2和一个5，从而6可看成从三个2、两个3、一个5中选取一个2一个3的组合，20可看成从中选取两个2一个5的一个组合，最后认为360的正约数的个数恰好是从三个2、两个3、一个5中选取的全部组合，即选2有四种可能，选3有三种可能，选5有两种可能，共有c14c13c12种可能。部分学生听得津津有味，有些学生当时就有疑问：为什么可以这样计算？这种分析完全是教师的解题思路，学生跟上教师的思维走，但不明白这种想法是怎么得来、这种解法为什么可以等一系列疑问。听“明白”的学生也只知其然，不知其所以然。这种现象是什么原因造成的呢？我们知道，寻找解题思路是数学学习活动的主要形式。斯托处亚尔认为，数学教学是数学活动过程的教学，解题教学就是解题的思维过程的教学，教学生如何思考就是解题教学的目的之所在。而以上现象正是因为没有展示解题的思维过程，从而没有达到培养学生思维的目的，特别是数学复习课教学活动的主要形式是解题活动，如果解题不展示思维过程，复习教学很容易走上“题型+方法”的套路，使题海战愈演愈烈，导致许多学生眼高手低，背离高考之考三基、考思维、考能力的要求。
　　
　　二、展示解题思维过程的方法
　　
　　波利亚给出的“怎样解题”表中用了启发学生找到解途径的一连串问句与建议，来表示思维过程的正确搜索程度，其核心在于不断变换问题，连续地化简问题，最终归结为熟悉的基本问题加以解决。对于具体问题如何设问和引导学生思考，是教师主导作用发挥的主渠道。下面主要谈解题的思维过程中转换的方法。
　　1.如何引导学生理解问题，例如1998年全国高考理科数学试题第（22）题。
　　
　　如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。
　　可以设计这样一些设问：（1）问题中的条件有哪些？（2）结论是什么？（3）关键的条件是什么？（4）关键词语是什么？可以提出这样的一些建议：（1）把条件和结论写下来或复述下来；（2）把已知条件的各部分分开；（3）理解题目中的知识点；（4）理解条件和结论的意思。通过以上的引导，学生再现题目中联系的知识点，感知问题的整体印象，为探索解题思路奠定基础。
　　2.如何转化问题？再看上例，可以设问：（1）这是什么类型的题目？（2）这样的问题你以前见过没有？（3）是否见过本质相同而形式不同的问题？（4）是否已经知道一个能用得上的解题方法或思想起类似问题的解法？通过这几个问题引导学生进行回想、再现、比较，从而确定以前是否见过类似的题，以便确定探索方向。（5）能否利用以前的解题方法？怎样利用？通过此问题的引导使学生确定利用函数方法来解决此题。（6）问题中的自变量和因变量各是什么？（7）自变量和因变量之间的关系是什么，如何表达？引导学生设因变量――水中杂质的质量分数为y反比例系数记为k，则有关系式y=k/ab。
　　自变量a、b之间有关系：4b+2ab+2a=60。
　　（8）现在的问题是什么？使学生明确可以转化为求条件函数的最值问题。
　　（9）如何求y的最小值？此为学生熟悉的问题。
　　3.如何实施解题？引导学生注意解题的步骤的合理性，完整性及表达的正确性。
　　4.如何反思？对于此例可以设问：（1）结果是否正确？如何验证？（2）能否用别的方法解此问题？（3）解题过程是否最简捷？解题过程中关键步骤是什么？（4）解此问题的方法是什么？含有什么思想方法？等等。通过反思，学生更深刻地理解此问题及解法，掌握函数应用题除了背景外关键是找到两个变量及其之间的关系式，将问题转化为函数问题，从而使学生理解函数应用题的重点是建立函数模型。
　　通过解题活动，学生明确解题的目的是发展思维能力，训练技能，完善知识结构。
　　
　　三、展示数学解题思维过程的意义
　　
　　数学解题的思维过程是指从理解题意开始，经过探索思路、转换问题、解决问题、回顾反思的全过程的思维活动。G・波利亚将这种思维过程分为四个阶段：弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾。这四个阶段的思维实质上可以用下面八个字来概括：理解、转换、实施、反思。平时教学中，教师注重的是理解、实施（现成的解题思路和过程），没有展示解题的整个思维过程，特别是解题思路的探索过程，从而使解题教学失去了应有的功能。下面先谈谈展示解题的思维过程的意义。
　　理解是解题的思维活动的开始，理解的思维活动主要是阅读活动弄清题目的已知、未知和再现问题中联系到的知识，培养学生回忆、感知等思维活动能力。转换是解题思维活动的核心，是探索角题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程，其中思维策略的选择这一点是平时教学中没有注意的地方。在这一思维过程中，通过比较、分类、归纳、演绎、抽象、概括、联想、一般化、特殊化、分析、综合等一系列的思维活动，再现数学应用中的数形结合思想、分类思想、函数思想、方程思想等一系列的思想方法，在再现的过程中，进行诸如以简驭繁、进退互用、数形迁移、化生为熟、正难则反、分合相辅、引参求变、以变求真、以动静互换、逆顺相通等思维策略的选择，在选择中确定解题方向，从而在探索过程中达到训练学生思维的目的。实施是一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题的思维活动的重要组成部分，是落实双基的主要形式，通过运算、揄培养学生的逻辑思维能力和运算能力。反思是知识应用的同化阶段，是数学理论知识的迁移和解题的思维过程的再现，旨在通过这种过程的再现，深抠数学基本原理或解题方法在怎样的数学思想或数学观念的指导下得到的，提炼数学思想方法，体会数学思想或数学的作用；同时这种反思是数学思维过程的辩证体，即一个思维活动过程的结束包含着另一个新的思维活动过程的开始；学生认识到灵活简捷的解题方法正是通过反思而发现的，再同化、迁移，举一反三的能力就在反思过程中形成了。
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