【浅议圆锥曲线的统一规律】圆锥曲线的所有公式

　　椭圆 、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的共性如下： 　　1.从方程形式看，在平面直角坐标系中这几种曲线方程都是二元二次方程表示为f（x，y），所以它们都属于二次曲线。
　　2.从轨迹上看它们都是“到定点和到定直线距离比是常数e的点的轨迹”，这个定点是它们的焦点；定直线是它们的准线，只是由于e的取值范围不同而分别为椭圆（01）；抛物线（e=1）。
　　3.这三种曲线都是可以由平面截圆锥而得到的截口线，用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥得到的截口线是圆，如果改变平面与圆锥轴线的夹角会得到一些不同的图形它们分别是椭圆，双曲线，抛物线等，因此通常把它们称之为圆锥曲线。从教材处理来看圆锥曲线无疑是解析几何的重头戏，重点是以椭圆为例交待研究圆锥曲线的一般方法，先由求曲线方程的一般步骤求出椭圆的标准方程，再用方程讨论椭圆的几何性质，体现解析几何的基本思想用代数方法研究几何问题，然后在双曲线、抛物线中得到应用和巩固，主次有序；先讲椭圆也是为了与圆的方程衔接自然，在教与学的过程中以圆锥曲线的共性与个性为主旨可以挖掘出更深刻的规律，以下规律以结论形式给出。
　　结论一 ： 若P（x0，y0）是圆锥曲线C上一点。若C为椭圆■+■=1，则过P点的切线方程为■+■=1；若C为双曲线■-■=1,则过P点的切线方程为■-■=1；若C为抛物线y2=2px，则过P点的切线方程为y0y=p（x+y0）。
　　证明：（以椭圆为例）设切线的斜率为k，则k=y′x-x0其中y=■，y′=■，因此k=■，切线方程为y-y0=■（x-x0）=■（x-x0），因为■+■=1所以整理得切线方程为：■+■=1。
　　同理可证双曲线过P点的切线方程为■-■=1；抛物线过P点的切线方程为y0y=p（x+x0）。由此可知圆锥曲线上一点的切线方程与该曲线方程结构一致，即：二次项x2，y2换成x0x，y0y，一次项x，y换成■，■就是切线方程。
　　推论：过P（x0，y0）作椭圆■+■=1的两条切线PA,PB切点为A，B，则AB所在曲线的方程为■+■=1。
　　证明：设A（x1，y1） ，B（x2，y2）则由结论一可知过A，B的切线方程分别为■+■=1，■+■=1。又因为点P（x0，y0）为PA,PB的交点，所以有■+■=1， ■+■=1。因此A，B都在直线■+■=1上，即AB所在曲线的方程为：■+■=1。由此可以得出：自同一点P（x0，y0）出发的椭圆的两条切线的切点弦方程，其形式与经过椭圆上一点（x0，y0）的切线方程是完全一样的，可以验证双曲线，抛物线也有类似性质。
　　结论二: 在圆锥曲线中通过焦点垂直于对称轴的弦长为定值。在椭圆和双曲线中定值为■，在抛物线中定值为2p。
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　　图1
　　证明：如图1，设点A(xA，yB），椭圆方程为■+■=1，由于AB过焦点且垂直于对称轴，因此xA=c，于是■+■=1,解得yA=■，由椭圆的对称性可知|AB|=2|yA|=■，另外也可用圆锥曲线的第二定义证明之。在抛物线中由定义可知|AB|=2p
　　结论三：在圆锥曲线中，以焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系与e（离心率）有关，e>1，相交；e=1，相切；01，相交：在抛物线中e=1 ，相切。
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　　图2
　　结论四：过圆锥曲线C的焦点F的直线与C交与A，B两点，自A，B向准线做垂线，垂足分别为C，D，在椭圆中∠CFD■。（本题的证明与定理三相似，利用圆锥曲线的第二定义及三角形中大边对大角理论可轻松完成，有兴趣的读者可以试着完成。）
　　在历年的高考试题及模拟试题中，能用以上结论直接解决的问题频繁出现，特别是解决一些填空、选择题掌握以上结论显得尤为轻松。下面以一道高考题为例谈谈他的应用：（2008年高考数学江西卷理科第21题）
　　如图3，设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文