[２００７年高考重庆卷（文）第２１题的拓广] 重庆高考文

　　文（21）题：如图1，倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点． 　　图1（Ⅰ） 求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
　　（Ⅱ） 若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明�|FP|�-�|FP|��cos�2α为定值，并求此定值.
　　本题第（Ⅱ)问中，由条件可得 �|FP|�-�|FP|��cos�2α=8（定值），又�|FP|�-�|FP|��cos�2α可表示为�2|FP|�（1-�cos��2α），从而有�|FP|�（1-�cos��2α）=4（定值），对一般抛物线�|FP|�(1-�cos��2α)是否为定值，这个定值是多少呢？经笔者研究，得到如下结论．
　　性质1 设倾斜角为α的直线经过抛物线
　　y2=2px (p＞0)的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，则|FP|（1-�cos��2α）=p(定值）．
　　证明：设A（x�1,y�1),B(x�2,y�2)，
　　直线AB的斜率为k=�tan�α，
　　则直线AB的方程为y=k(x-p2)．
　　将此式代入y2=2px得
　　
　　性质3 设倾斜角为α的直线经过双曲线x2a2-y2b�2=1 (a＞b＞0)的焦点F，且与双曲线交于A、B两点．若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，记双曲线的离心率为e，焦点F到相应准线的距离为p，则|FP|（1-e�2�cos��2α)=pe�2（定值）．
　　仿性质2的证法，可得|FP|（1-e�2�cos��2α)=pe�2（定值），此略．
　　由上述讨论，可得圆锥曲线的一个统一性质：
　　定理 设倾斜角为α的直线经过圆锥曲线的焦点F，且与圆锥曲线交于A、B两点．若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，记圆锥曲线的离心率为e，焦点F到相应准线的距离为p，则|FP|（1-e�2�cos��2α)=pe�2（定值）．
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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