【两个分式不等式的统一推广】分式不等式

　　江西赣南教育学院341000 　　 　　摘 要：本文运用幂平均不等式和柯西不等式得到两个分式不等式的统一推广. 　　关键词：幂平均不等式；柯西不等式；推广
　　
　　命题1 若x，y，z，n为正数，m≥2，且x+y+z=1，则
　　++≥.①
　　命题2 若a，b，c为正数，n＞－，且m≥，则
　　m≥（a+b+c）（n-1）m.②
　　本文对以上两个分式不等式作统一推广，得到：
　　命题3 设ai＞0且a＜s =ai（i=1，2，…，n，r＞0），t，k，m∈R，m≤1，m≠0，1-r≤≤1，k≥2，记a0=an，则≥.③
　　证明因为1-r≤≤1，m≤1，由幂平均不等式得
　　ait/m=st/mn1-t/m，④
　　air+t/m=sr+t/mn1-r-t/m.⑤
　　a（s-a）m=［a（s－a）］m≤n・
　　m≤n1-m［s1+t/mn1-t/m-sr+t/mn1-r-t/m］m （由④⑤式），
　　所以n1-m・［s1+t/mn1-t/m-sr+t/mn1-r-t/m］m・≥
　　2（由柯西不等式）≥n2
　　ai-1k（由幂平均不等式）=n2-ksk.
　　在③式中，令n=3，m=t=s=1，得≥；令n=3，k=0，r=1，记α=－得
　　m≥sm（α-1）. 这两个不等式实际上就是①式和②式，仅字母及形式上不同而已.
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