人工肾马上来了 人工肾数学模型

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摘要

本文研究单位时间内人工肾带走废物数量是多少.

我们通过探讨发现，在人工肾与血液之间能发生渗透的这一段长L的距离中，其不同点的废物浓度都是不相同的，因此若考虑全段，此模型将变的很复杂而难解。所以我们只考虑在区间0L上一小段XXX，在这段中我们可以知道血液中废物的减少量=人工肾中废物增加量。

再通过微积分的运算我们可以得出单位时间内人工肾带走废物数量是多少 Q(PU)dx0l=dPkPdx0dxl=kPP0U(l)=1eml

PokP kPml1ekU

m=11 kkUP

关键词： 人工肾 清除率 浓度 微积分

一、问题的重述

人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通，如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾。

设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长为l。我们建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型。

血管 血液流动方向

薄膜

人工肾 液体流动方向

二、问题的分析

我们都知道肾脏是用来排尿液的，在这个模型中废物相当于尿液，血液中某物质的浓度是废物的浓度，其它也如此。

为了求单位时间内人工肾带走废物数量，我们不得不从L长的人工肾和血管中截取其中及其微小一小段，忽略其时间 即XXX

我们查找大量资料得到以下知识点：

肾脏清除率是指某一种物质在一定时间内(通常以1 min为单位)由尿液排出的量相当于多少毫升血浆含该物质的量。以公式表示，即CUV/P。其中C为清除率(ml／min)；V为每分钟排尿量(ml)；U和P分别为测定的尿液和血浆的物质浓度。

某物质每分钟的清除量＝血浆中该物质的浓度(P)×每分钟的肾脏清除率(C)。 某物质每分钟清除量＝每分钟的尿中排出量＝尿中该物质的浓度(U)×每分钟尿量，亦即PCUV

假设在L段中任意取某点X，及废物开始从此点渗透直到点X+处，及这段中能发生渗透作用，其他地方先不予考虑，在此段中从血液中渗透过去的废物与人工肾带走的废物量是相等的，从而可以得出在单位时间有关废物的相应等式，再将其进行微分，即可得出人工肾在整段L时，人工肾在单位时间内带走的废物量。

三、模型的假设

1、假设人工肾及血管的形状、大小在整个血液透析过程中不会发生变化。

2、假设血管和人工肾中的液体有废物渗出和渗入，均视为溶液；

3、假设流入血管和人工肾中的液体的浓度始保持不变；

4、整个血液液透析过程中不会发生反渗透；

5、血液和人工肾中液体的流速均为常数；

6、废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比；

四、符号及其说明

L --人工肾总长；

PX--血管中废物的浓度；

KP--血管中血液的流速；

UX--人工肾中废物的浓度；

KU--人工肾中血液的流速；

废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比的比例系数； Q ---- 单位时间内人工肾带走废物的数量

五、模型的建立及求解

根据血管中废物减少量等于人工肾中废增加量 在L长的人工肾和血管中：我们在区间0L上任意选取一小段区间XXX 则：

血管中废物通过X处时废物量

QXPX*KP

通过X+X处时废物量

QXXPXX*KPP

人工肾中废物通过X处时废物量

QXUX*KU

通过X+X处时废物量

QXXUXX*KUU

在XXX过程中废物浓度的变化为： (0)

以血管为对象：PX*KPKPPXX=(PxUx) ① 以人工肾为对象：UX*KUKU*UXX =(PxUx) ② 初始时血管中废物浓度为P0 即P(0)P0

当人工肾中废物运行至L长度时，废物量为0 即U(l)0

我们由①②可以得出：

kPPemlkUemx

PXUX= P0kPemlkU 11m=k kUP

在区域[0 L]上，单位时间内人工肾带走的血液中的废物量为：

1emldP ③ dx=kPP0U(l)=PokPQ(PU)dx=kP0dx0kPml1ekUll

六、模型的检验

由某物质每分钟的清除量＝血浆中该物质的浓度(P)×每分钟的肾脏清除率(C)

1eml1* ④ 我们可以得出：C

C=P0kPkP1Peml

kU

在我们查找的资料中得知： CU*V/P

U*VQCQ/P 将③式代入

得到的结果符合查找的公式确定我们这个模型是正确的。

测定肾清除率的意义 测定肾清除率不仅可了解肾脏的功能状态，还可以测定肾小球滤过率、肾血流量和推测肾小管的转运功

七、模型的进一步研究

由于人的血液是不可压缩的黏滞流体，所以血液在血管中心和边缘的流速是不同的。根据牛顿黏滞性定律和力平衡原理建立血液流动微分方程。

取长度为L的血管，左端血压为P1 ,右段血压为P2(P1>P2),血管半径为R,由于流速稳定，所以由牛顿黏滞性定律和力平衡原理，推动半径为r，

推进力有F1=r2(P1P2) （1）

dv （2） dr

dvF1=F2 即r2(P1P2)=-2rl dr

对两边积分，当r=o处流速最大 r=R处流速为0 阻力有 F2=-2rl

v(r)P1P22(Rr2) （3） 4l

为血液黏滞系数

将血管中的圆截面分成多个圆环，圆环厚度为dr,1秒内通过该圆环的流量为v(r)2rdr,所以，一秒内通过半径为R圆截面的流量为Q=2v(r)rdr (4) 0R

（3）和（4）联立，得：Q(P1P2)4R 8l

八、模型的评价

优点：本模型设计简单，针对医学方面的这类问题具有很大的实用性，若必要时可根据此模型设定相应的方案，从而也可以进一步对此模型在实践中检验，进一步的完善优化。。因而也可以推广到其他方面的问题，如：香烟过滤嘴的问题，药物代谢的问题，饮酒后血液中酒精含量的变化等等。

缺点：本模型在人工肾及血管的形状、大小在整个血液透析过程中是不会发生变化的而在实际中往往很复杂；

血压及血管半径都需要去测量数据，不可避免的会产生误差，造成结果的偏离； 整个渗透作用当做是理想状态(可能会发生反渗透的情况)，所以具有一定的局限性。若必要时可根据此模型设定相应的方案，从而也可以进一步对此模型在实践中检验，进一步的完善优化。

九、参考文献

[1] 姜启源 谢金星，数学建模，北京：高等教育出版社，2003年；

[2] 北京：高等教育出版社，2003.8.数学建模（第三版）习题/姜启源等编。

[3] 数学建模案例选集/姜启源，谢金星主编——北京：高等教育出版社，2006.7