三界迅雷资源群 小说【“简单”的错，不简单的处理―――错误资源利用的一点想法】

　　（浙江乐清市白象中学，浙江 温州） 　　 　　【摘 要】教学过程是师生互动、动态生成和共同发展的过程。在互动中，我们教师既要努力促成学生实现“预设生成”，又要善于捕捉教学中新的有价值的生成―“非预设生成”。只要对教学有意义，哪怕是错误的生成也是有价值的，也是可以利用的宝贵资源。因此，面对有意义的错误资源，教师千万不要让“简单”的错简单处理，而应该及时抓住，并尽力把它放大、做强。
　　【关键词】错误资源 教育价值 利用
　　
　　教学过程是师生互动、动态生成和共同发展的过程。在互动中，我们教师既要努力促成学生实现“预设生成”，又要善于捕捉教学中新的有价值的生成―“非预设生成”。而在“非预设生成”中，有的是正确的，有的是不成熟的，甚至错误的。只要对教学有意义，哪怕是错误的生成也是有价值的，也是可以利用的宝贵资源。因为探究问题既可以从正面（正确的）开始，也可以从反面（错误的）入手，而从反面探究往往对人的触动更大，给人留下的印象更深刻，效果自然会更好。因此，面对有意义的错误资源，教师千万不要让“简单”的错简单处理，而应该及时抓住，并尽力把它放大、做强。
　　下面，笔者将结合高三学生一次课本习题的探究活动来说明：课堂教学中“错误”资源利用的一点想法―“简单”的错，不简单的处理。
　　问题:试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)•f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?(源于人教A版数学必修①习题2.2B组第5（2）题)
　　
　　一、节外生“枝”
　　
　　学生举出的函数仅是一些具体的指数函数，这些具体的函数又让我们的学生认为，符合要求的函数只能是指数函数。为了对这个错误的想法有深刻的认识，我们进行了如下的探究活动。
　　（为了下面书写与探究的方便，我们不妨记上式为①，假定定义域为R，函数y=f(x)在定义域上为连续函数）。
　　
　　二、枝上开“花”
　　
　　1.纠错
　　（1）指数的运算性质:a��m+n�=a��m�•a��n�结构与①相同；
　　（2）指数函数y=log��a�x(a>0且a≠1)都满足①。
　　由联想（1）和（2）肯定我们的想法:符合①的函数一定是指数函数。
　　上述想法是否正确呢?我们不妨用特殊值试一下（以退为进）:
　　在①中令a=0,b=0,则得f(0)=0或f(0)=1.
　　当f(0)=0时,在①中又令a=x，b=0则有f(x)=f(x)•f(0)=0
　　而f(x)=0是常数函数，显然不是指数函数。所以，符合①的函数不一定是指数函数。
　　2.猜想
　　于是，迫使我们放弃原来的想法，而产生另一个想法:
　　若y=f(x)满足①和f(0)≠0，则f(x)一定是指数函数。
　　这次想法会符合要求吗?
　　由f(0)=1想到常数函数f(x)=1，用它试一下，发现它也满足①和f(0)≠0，但f(x)=1不是指数函数。
　　这迫使我们做出最后的猜想:满足①的非常数函数f(x)一定是指数函数。
　　（猜想―英国数学家休厄尔曾说过:“若无某种大胆的猜想，一般是作不出知识的进展。”）
　　3.证明
　　如何证实这个最后的猜想呢？我们参照指数函数的性质和指数的运算性质，分以下两步进行:
　　（1）证明y=f(x)在定义域上恒为正数
　　如果在定义域上存在x��0�,使f(x��0�)=0,
　　则对定义域内的任意x，都有f(x)=f[x��0�+(x-x��0�)]=f(x��0�)•f(x-x��0�)=0
　　这与f(0)=1矛盾.所以y=f(x)在定义域上恒不为0（反证法）
　　∵函数满足①
　　∴对定义域内的任意x都有f(x)=f(x2+x2)=[f(x2)]��2�
　　∵f(x2)恒不为0
　　∴f(x)在定义域上恒为正数。
　　（2）证明f(x)=[f(1)]��x�,其中x是任意实数。为此，分以下几步进行:
　　(�)x=n(n∈N)
　　反复运用①,f(x)=f(n)=f(1•1•…•1)=f(1)•f(1)•…•f(1)=[f(1)]��n�=[f(1)]��x�
　　(�)x=nm(m,n为互质的正整数)
　　∵x为正无理数∴存在正有理数nm，使得nm无限趋近于x
　　∵f(nm)=［f(1)］��nm�,且y=f(x)是连续函数∴当nm时，则f(nm)→f（x）
　　∴f(x)=[f(1)]��x�
　　由(�)(�)(�)可知,f(x)=[f(1)]��x�对于非负实数x都成立.
　　(�)x为负实数
　　∵x0
　　∵1=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=f(x)[f(1)]��-x�
　　∴f(x)=1［f(1)］��-x�=[f(1)]��x�.至此性质(2)获证.
　　再令f(1)=a,则f(x)=a��x�.
　　∵f(x)为非常数函数∴f(x)≠1
　　∴f(x)=a��x�(a>0,a≠1)是指数函数。
　　4.反思
　　上面的证明过程比较繁琐。是否有简便的证法呢？
　　导数是研究函数问题的有利工具。我们不妨用导数试一下:
　　f(x+y)=f(x)•f(y)
　　分别对x,y取导数:f′(x+y)=f′(x)•f(y),f′(x+y)=f(x)•f′(y).
　　积分之,得ln[f(x)]=cx+c��1�,令x=0得ln[f(0)]=0+c��1�,
　　∵f(0)=1 ∴c��1�=0 ∴lnf(x)=cx
　　两边取以e为底的指数得,f(x)=e��cx�=(e��c�)��x�
　　再令e��c�=a,得f(x)=a��x�（反思―荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔教授指出，“反思是数学思维活动的核心和动力。”）
　　5.类比
　　解决了上述猜想以后,我们可以进一步提出一些类似的猜想:
　　（1）满足f(xy)=f(x)+f(y)的函数是否是对数函数?
　　（2）满足f(x+y)=f(x)+f(y)的函数y=f(x)又是什么函数?
　　这些问题都可以类似地解决。
　　三、节外生“思”
　　在以上的探究活动中，笔者抓住了学生错误的“生成”，并通过对生成性问题的探究活动来实现“生成”的放大。这样不仅不会因错误而挫伤学生学习的积极性，而且更能激发学生继续学习探索的热情，探究知识的内涵，拓展知识的外延，寻求解题策略的多样法。“简单的错，不简单的处理”是利用错误资源的一点重要想法。
　　课堂是学生出错的地方，错误伴随学生成长。因此，在数学课堂教学学生出现错误，只要教师能灵活机智地加以捕捉和运用，因势利导地融入到课堂教学中，那么，错误将成为课堂教学中的有效资源，它能发挥独具的教育价值，我们的课堂教学也因“错误”而精彩。
　　
　　参考文献：
　　 [1]雷玲.名师数学机智例谈.上海:华东师范大学出版社,2007.
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