【数学文化和数学建模在高等数学教学中的作用】 高等数学融入数学建模思想

　　摘要：近年来将数学文化和数学建模融入数学主干课程教学是一个重要的研究课题，这方面的研究成果也日益丰富。本文以微积分课程为例，分析了数学文化和数学建模在教学中的重要作用，并提出了微积分教学改革的若干策略。
　　关键词：数学文化 数学建模 微积分教学 重要作用
　　
　　近年来数学文化和数学建模在高等数学教学中的作用越来越受到高等院校的重视，投入相当大的人力和财力进行专题研究并取得了丰硕的成果。其中将数学文化和数学建模思想融入数学主干课程教学是一个重要的研究课题。本文所指的高等数学是广义上的说法，下面以微积分课程为例来说明研究课题产生的背景、作用和实施策略。
　　一、教学现状
　　现在高校普遍的微积分教学，“满堂灌”的现象仍旧相当突出，不讲究教学方法，教师上课没有激情，照本宣科，讲解枯燥无味。采用的教学手段依然是粉笔加黑板、课本加教案的传统模式，没有充分利用现代化的多媒体教学手段。种种原因都有可能导致学生对微积分这门课程产生畏难情绪，失去学习这门课程的兴趣。因此微积分教学的改革已经势在必行，刻不容缓；高教界对此也作了种种有益的探索和尝试，其中将数学文化和数学建模思想融入微积分教学是个行之有效的方法。
　　二、重要作用
　　国家级教学名师顾沛对“数学文化”的定义有狭义和广义两种。狭义的定义是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义的定义是除这些以外，还包含数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系。著名数学家吴文俊说过，“数学要真正得到应用，数学建模是取得成功最重要的途径之一”。研究和探讨数学文化和数学建模在当前微积分教学中的应用，以及将二者紧密结合起来发挥更大的作用等问题，将会在提高学生的思想修养和提高学生对微积分学习的兴趣等方面起到重要作用。
　　三、实施策略
　　1．适当插入微积分发展史，引发课程兴趣
　　数学史是增强学生学习兴趣和动力的良性催化剂，特别是数学大师成功的背景与经历，不但能增强学生学习微积分的无穷动力，而且可以培养学生勤奋刻苦的精神和坚韧不拔的意志。因此，我们可以在第一节课用下面的内容这样介绍微积分的发展史，以引起对本课程的兴趣。
　　众所周知，微积分诞生于17世纪下半叶，微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生，而这是牛顿与莱布尼兹的功勋，是他们创立了微积分。牛顿对微积分的研究始于1664年，于1665年5月发明“正流数术”（微分法），1666年5月发明“反流数术”（积分法）。1666年10月将此整理成文名为《流数简论》，此文虽未发表，却是历史上第一篇系统的微积分文献。与牛顿的流数论以动力学为背景不同，莱布尼兹创立微积分是从几何问题的思考出发。1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学文章《一种求极大与极小值和求切线的新方法》；1686年，他发表了他第一篇积分学文章《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。莱布尼兹引入的符号“dx”、“∫”等一直沿用至今；他给出了函数的加、减、乘、除、乘方及开根，以及复合函数的微分公式；著名的莱布尼兹公式是函数乘积的微分公式，在积分学的文章中明确论述了积分与微分互为逆运算。但是牛顿与莱布尼兹的微积分的基础是不牢固的，是不严格的。经过上百年努力，微积分严格化到19世纪初见效果。而开始有重大影响的微积分严格化的第一位数学家是法国的柯西，他对微积分巨大的贡献是引进了严格的方法；柯西正确地表述并严格地证明了微积分基本定理、中值定理等微积分中一系列重要定理。他的工作是微积分走向严格化的极为关键的一步，为微积分的进一步发展奠定了坚实的基础。
　　2．巧妙植入数学文化，激起学习兴趣
　　开设“数学文化”欣赏课在很多重点高校已成为一种趋势，目的是在学生有了一定的数学基础后，能换个角度去观察数学，以一种欣赏的眼光去看待数学。教师在教学过程中也要意识地渗透相关的数学文化，使学生感受到数学的美感与魅力，从而激发学习的兴趣。
　　（1）数学语言本身是最简洁的文字，而且能反映极其深刻的内在规律。如对于一元可微函数y=f(u)，不管u是自变量还是中间变量，函数u=f(u)的微分dy=f′(u)du在形式上都是不变的。这个简单又明了的式子，既反映了数学的外在表现形式的简洁美，又反映了数学的内在美。学生在欣赏数学语言简洁与优美的同时，也必能加深对数学概念的理解。
　　（2）中值定理是微分学的理论基础，也是微分学应用的桥梁。中值定理包含三个定理：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。柯西定理是拉格朗日定理的一般情形，而拉格朗日定理又是罗尔定理的一般情形。它们之间的关系体现了哲学范畴的特殊与一般的辨证统一的关系，是一个由此及彼、由浅入深、由特殊到一般相互转化、逐步发展、完善的过程，从而使中值定理有着更广泛的应用。这样在数学的逻辑美中，学生可以体会到哲学美的无限魅力。
　　（3）1是正整数也是实数的基本单位，i是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，e和π在超越数中独具特色，它们都具有独特的数学地位；这五个特殊的数却可以和谐地存在于一个等式之中：eiπ+1=0，数学内在的和谐美真是让人叹为观止。
　　3．适时融入数学建模思想，增强实用训练
　　随着人类的进步，微积分也在不断地发展，时至今日，已经发展成一个庞大的理论体系，其应用范围渗透到社会科学的各个领域。如运用微积分中的导数解决实际生活中的用料最省、体积最大以及经济理论中的最大利润、最小成本、边际、弹性分析等问题。定积分中的微元法也是应用中的有效方法，可以用来计算面积、旋转体的体积、图形的重心等。在教学过程中适时融入数学建模思想，对各专业特别是经济管理类专业的学生更有助于专业课的学习、抽象思维的提高，使得学习经济学和管理学变得容易，而且可以更完整、更深刻地理解和解释经济和管理理论。我们通过下面的实例来说明微积分在优化理论及经济管理中的应用。
　　（1）（案例）价格竞争模型
　　（问题描述）销售竞争在于占有市场，而市场的占有量受诸多因素的制约和影响，如广告、价格、市场策略等。两个液化气站坐落同一居民住宅区，彼此激烈竞争，附近的一些液化气站也对他们构成一定的压力。市场是极大的，尽管两个液化气站都有自己的老顾客，但销售的大部分还是由偶然到来的顾客所决定，利润受销售量的影响和控制。一天，甲液化气站突然张贴“降价销售”的广告吸引更多的顾客，以图形成更大的市场，获取更多的利润。结果造成乙液化气站的顾客被拉走了很多，盈利急剧减少，乙液化气站为了挽回损失而采取对策，决定马上降价，但需要确定一个合适的价格，既可以同甲液化气站竞争，又可以获取尽可能高的利润。
　　（2）（问题分析）我们需要建立一个描述“价格战”的价格竞争模型，并站在乙液化气站的立场为其制定对策。
　　下面引入一些变量指标：
　　x――乙液化气站的销售价格（元/瓶）；
　　y――甲液化气站的销售价格（元/瓶）；
　　W――液化气的成本价格（元/瓶）；
　　L――乙液化气站在价格战之前的销售量（瓶/年）；
　　P――液化气的正常销售价格（元/瓶）。
　　其中，P由其他液化气站的一般销售价格确定，不妨定为常数。
　　现在我们已将价格竞争问题转化为一个典型的数学问题，即推测的分析各个变量之间的关系和相互影响
　　（建立模型）可以认为乙液化气站的销售量受以下各因素影响：两液化气站之间的销售价格之差；乙液化气站的销售价格与正常价格之部的差值；甲液化气站的销售价格与正常价格之间的差值。
　　四、结语
　　一位合格的数学教师在课堂上应有意识将数学文化和数学建模思想巧妙融入教学之中，使学生不但能掌握扎实的数学知识，而且可以领略数学文化的魅力和数学思想的深邃，体会到数学的应用价值和对社会发展的巨大推动作用，精心打造充满数学魅力的高效课堂，尽最大努力提高课堂的教学效果。
　　
　　参考文献：
　　[1]李大潜．中国大学生数学建模竞赛[M]．北京：高等教育出版社，2008．
　　[2]易南轩，王芝平．多元视角下的数学文化[M]．北京：科学出版社，2007．
　　本文为郑州大学西亚斯国际学院2010年度科研经费资助项目，项目编号：2010JGYB53。