利用函数凹凸性证明不等式【函数与不等式相关联的参数范围问题解题策略】

　　〔关键词〕 数学教学；函数；不等式；参数范围；解题 策略 　　〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C 　　〔文章编号〕 1004―0463（201１）０7（B）―00８１―01
　　
　　函数与不等式相关联的参数范围问题在近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围密切相关.由于这类问题中既含有参数,又有变量,涉及的字母较多，学生往往感到难以下手.下面,笔者举例说明几种常见的求解策略，以抛砖引玉.
　　1.主参变位策略
　　例1已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求x的取值范围.
　　解析：本题按常规思路是分a=0时，f(x)是一次函数；a≠0时，f（x）是二次函数两种情况讨论，这样求x的取值范围比较麻烦.因此，可以把a看成常参数，通过变量转换，把a看成变量，x看成常参数，把上述问题转化为一次函数问题.令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3，a∈[-1，1]时，g(a)>0恒成立，则g(-1)>0g(1)>0 ，
　　得-3-m恒成立?圳f(x)min>m;f(x)0.若f(x) ≤t2-2at+1对于所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围.
　　解析：本题不等式中有三个变量，可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，故 f(x)在[-1，1]上的最大值为
　　f(1)=1，则f(x) ≤t2-2at+1对于所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立?圳t2-2at+1≥１对于所有的a∈[-1，1]恒成立，即2ta-t2≤0对于所有的a∈[-1，1]恒成立.令g(a)=2ta-t2，只要g（-1）≤0g（1）≤0，∴t≤-2或t≥2 或t=0．
　　点评:对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得以解决.
　　编辑：谢颖丽
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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