如何用手机玩洛克王国【统一数学王国的“疯子们”】

　　自从笛卡尔创立了解析几何，牛顿、莱布尼兹创立了微积分以来，数学得到了突飞猛进的发展。数学的各个分支，如群论、非欧几何、泛函分析等相继产生。但不同的分支有不同的数学语言，随着数学分支越来越多，常常是这个分支中的数学家无法听懂那个分支中的数学语言。数学王国历来的内在和谐被破坏了。面临着数学王国四分五裂的局面，20世纪的数学家迫切地希望系统地整理全部数学概念，把各个分支有机地统一起来。为此，在本世纪二十年代，法国数学家阿达玛组织了一个数学讨论班。参加者经常争论得面红耳赤，声嘶力竭，使得有些不知内情的人把这个讨论班称为“疯子的集会”。十多年后，法国出版了署名“布尔巴基”著的《数学原理》第一卷，以后又陆续出了第二第三卷，直到现在问世了近四十卷。这套数学史上最巨大的数学著作，用严密的逻辑方法，整理了迄今为止的全部数学概念，把山头林立的各个数学分支统一成一个和谐的数学王国。著者“布尔巴基”不是别人，就是那一群喜欢争论的“疯子”。
　　他们是在法国数学十分落后的情况下挑起这个重担的。法国曾有过很好的数学传统，有过笛卡尔、拉格朗日、伽罗华、彭加勒这样的出色的数学家。但是20世纪初期，法国数学急剧落后，许多优秀的人才死于第一次世界大战中，老一辈的数学家禁锢在函数论中，把函数论当作唯一的圣地，不知当时的俄国学派、波兰学派等数学界同行的成就。怎样才能使今天的数学王国重新统一呢？他们想首先要了解各门分支的新成就。讨论班一经成立，就把上年发表的重要论文分配给有兴趣的人，让他反复钻研。然后介绍给讨论班。例如，当数学家范德华尔登出色的数学著作发表后，讨论班马上加以研究、讨论。这样的讨论不断开阔了参加者的眼界，活跃了他们的思想，逐渐形成了一个充满活力的布尔巴基学派，为统一数学王国的事业打下了基础。
　　讨论班的第二步工作是以更系统的方法探讨数学各个分支中涌现出来的大量概念，寻找它们之间的内在联系，把它们统一起来。数学史上，欧几里德曾用若干公理演绎出千百条几何定律，建立了严密的几何体系；希尔伯特曾从少数几个公理出发，建立了严密的数理逻辑的公理化系统。布尔巴基讨论班的科学家们由此得到启发，在各个数学分支的背后一定存在着一些共同的东西，这个共同的东西就是数学结构。他们设想用数学结构的思想可以统一数学王国，因为“不管其外貌如何，数学学科的内在进化，不同部分必定会趋于严密的统一。”但是要找到能够综合各种分支的结构，必须找到和深入研究各种分支的结构，只有这样，才能找出各种数学结构之间的逻辑关系。这是一件十分艰巨的任务，需要集思广益、群策群力。为了寻找数学内在的各种结构，布尔巴基小组经常进行激烈的争论。批评是不留情面的，只有在问题搞清楚后大家才又面带笑容地平静下来。讨论后有了比较一致的意见就让某个人去起草。一二年后草稿出来了，再在讨论班上宣读，每一页、每一个证明都要严格考察。第一稿否定了，第二个人写第二稿，第二稿又否定了，第三个人接着干。艰苦的探索使他们终于证实：各个数学分支果然都有着自己特有的结构，而这些结构都是一些基本结构的结合，都可以从结构上加以分析。比如，实数的集合都服从代数结构。根据这种代数结构，任何实数经过四则运算仍为实数，任何实数都满足结合律、分配律。实数集合也具有顺序结构，任何两个实数都可以比较大小，在数轴上有不同的位置。此外，任何实数还具有拓扑结构，即两个实数之间总有着一定的距离。所以可以说代数是代数结构、顺序结构、拓扑结构三种结构的组合。并且，他们进一步发现，各个数学分支，不管它是多么错综复杂，都不外乎这三种结构的组合变化。一切数学分支都可以用这三种结构加以说明。统一数学王国的规律被他们找到了。
　　经过半个世纪的努力，他们写了近40卷的《数学原理》。这套书对数学成就进行了系统的总结，对数学各分支进行一次全面的综合，建立了一座前所未有的巍峨的大厦，统一了数学王国。