[构造圆锥曲线解无理函数最值问题] 圆锥曲线齐次化构造

　　摘要：求无理函数的最大值和最小值问题，是新课程高中数学中的重要内容. 本文以部分高中数学竞赛题和高考题为例，通过构造椭圆、双曲线、抛物线，对这一专题内容进行探讨. 其目的在于说明圆锥曲线的重要作用.
　　关键词：构造；圆锥曲线；最值 .
　　
　　构造圆求最值
　　例1已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为（）
　　A. B.
　　C. ?摇?摇?摇?摇 D.
　　（２００８年高考数学重庆理科卷试题）
　　
　　图1
　　分析 设u=，v=，消去x得u2+v2=4（u≥0，v≥0），其图象是圆u2+v2=4在第一象限的一部分，如图1所示.
　　考虑直线系u+v=y中，与此圆相交的直线过点（0，2）或（2，0）时y取得最小值ymin=2.
　　当直线与圆相切时y取得最大值，易得切点为（，），
　　所以ymax=2，因此=.
　　故选C.
　　上述解法，巧妙地利用换元，将函数问题转化为几何问题，利用数形结合，转化为直线与圆之间的关系，迅速求出函数的最值. 作为一种解答思路，该题思路具有一定的借鉴价值.
　　构造抛物线求最值
　　例2 求函数f（ｘ）=－的最大值. （2000年苏州高中数学竞赛题）
　　
　　图2
　　分析 函数结构复杂，无法用常规方法解，只有设法将其具体化. 由根式会联想到距离，将给定的函数表达式变形为f（ｘ）=－，问题转化为求点P（x，x2）到点A（3，2）与点B（0，1）距离之差的最大值. 而P点的轨迹为抛物线y=x2，如图2. 由A，B的位置知直线AB必交抛物线y=x2于第二象限的一点C，由三角形两边之差小于第三边知，P位于C时，f（ｘ）才能取到最大值，且最大值为AB==.
　　
　　构造椭圆求最值
　　例3 已知+=20，则3x－4y－100的最值为__________.（第１２届20０１年“希望杯”高二）
　　分析 满足题设的点P（x，y）的轨迹是到定点O（0，0），B（8，6）的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的长半轴a满足2a=20，即a=10. 线段OB的长为=10，即c=5，所以椭圆的短半轴长b=5. 又椭圆长轴所在直线方程为y=x，由图3可知，使得椭圆与直线y=x+m有公共点的m的取值范围是原点到直线y=x+m的距离不超过5. 即?摇≤5. 解得－≤m≤. 椭圆上任意一点P（x，y）均满足－≤y－x≤，－100－25≤3x－4y－100≤25－100 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文