解读三角形中的高考试题_三角形重心2:1怎么证明
甘肃高台第一中学734300 摘要：本文主要研究了以三角形为背景，以三角函数中的诸多公式和三角函数的性质为载体，以整体代入，边角互化，角与角间的转化、消元、降次等思想方法为依托，以考查学生应用所学的知识分析问题和解决分题的能力为主线来命制解斜三角形的相关高考试题，并对相关试题进行了点评.
关键词：三角形中的三角函数；正余弦定理；思想方法及应用
以三角形为背景，以三角函数中的诸多公式和性质为载体，以整体代入、边与角互化、角与角间的转化、消元、降次等思想方法为依托，以考查学生应用所学的知识分析问题和解决问题的能力为主线来命制与解斜三角形相关的试题已经成为近几年高考命制三角题的主流. 下面就举例说明这一部分内容的考题方向：
1. 考查三角形内角和定理A+B+C=π及诱导公式的熟练应用
例1（2005湖南）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小.
解析在△ABC中，sinC＝sin（A＋B），所以由sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin（A＋B）＝0. 即sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0. 即sinB（sinA－cosA）＝0.
因为B∈（0，π），所以sinB≠0，从而cosA＝sinA. 由A∈（0，π），知A＝. 从而B＋C＝π. C＝π－B，又因为sinB＋cos2C＝0. 即sinB＋cos2
π－B＝0，sinB＋cos
π－2B＝0. 即sinB－sin2B＝0，sinB－2sinBcosB＝0，由此得cosB＝，B＝，从而C＝π－
＋
＝. 故A＝，B＝，C＝.
例2（2008江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan＋tan＝4，a＝2，sinBsinC＝cos2，求A，B及b，c.
解析因为在△ABC中，cot＝tan，所以由tan＋tan＝4得cot＋tan＝4，即＋＝4，所以sinC＝，又C∈（0，π），所以C＝，或C＝，又因为sinBsinC＝cos2，由降幂公式cos2＝，又因为在△ABC中，cosA＝－cos（B＋C），所以sinBsinC＝，2sinBsinC＝1－cos（B＋C）整理得cos（B－C）＝1，所以B＝C＝，故A＝π－（B＋C）＝. （b，c的值略）.
点评上两例都是考查灵活应用表中所列公式和三角函数中的相关公式来解题，只要平时善于积累，总结出三角形中的几个关键“题眼”，就能迅速入手突破.
２. 考查正弦定理的灵活应用
2.1已知三角形中的一组对边与对角求其它的边或角用正弦定理＝＝＝2R.
例3（2007福建）已知在△ABC中，tanA＝，tanB＝.
（1）求角C的大小；
（2）若AB边的长为，求BC边的长.
解析（1）在△ABC中，tanC＝－tan（A＋B）＝－＝－1，所以C＝π.
（2）由（1）知C＝π是钝角，故A∈0，
，又tanA
＝
＝，
sin2A＋cos2A＝1，解得sinA＝. 由正弦定理＝，所以BC＝AB・＝.
2.2由正弦定理得
变式1a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
变式2sinA＝，sinB＝，sinC＝以及＝等，利用这些变式可将边、角关系进行互化解题.
例4（2007江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
解析由椭圆第一定义得AB＋BC＝2×5＝10，AC＝8，由变式2得sinA＝，sinC＝，sinB＝，故＝.
点评所求的是角的正弦值的比，由上面的变式2可转化为边的比值.
例5（2008山东）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝（，－1），n＝（cosA，sinA），若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则B＝＿＿＿＿＿.
解析：因为m⊥n，所以m・n＝0，即cosA－sinA＝0，得tanA＝，A＝，又因为acosB＋bcosA＝csinC，而a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以sinAcosB＋sinBcosA＝sinC・sinC，即sin（A＋B）＝sin2C，即sinC＝sin2C，因为C∈（0，π），所以 sinC≠0，故sinC＝1，C＝，所以B＝.
点评题设条件acosB＋bcosA＝csinC是边与角混合在一起的，而求的是角的值，因此想到由变式1将边化为角之间的关系.
３. 考查余弦定理的灵活应用
3.1已知三角形中的两边及其夹角的关系求第三边用余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc・cosA，b2＝a2＋c2－2ac・cosB，c2＝a2＋b2－2ab・cosC.
例6（2008重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，c＝3b，求：
（1）的值；
（2）cotB＋cotC的值.
解析（1）由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc・cosA＝a2＝
c＋c2－2・c・cos60°＝c2，故＝，＝.
点评本题已知的是边b，c间的关系及其夹角A，自然想到用余弦定理.
3.2由余弦定理得变式cosA＝，cosB＝，cosC＝可由三边或三边间的关系求角或者将边、角的关系进行互化.
例7如上例中的（2）.
解析由余弦定理的变式及（1）的结论有cosB＝＝，故sinB＝＝＝.同理可得cosC＝＝＝ －，sinC＝＝＝. 从而cotB＋cotC＝＋＝－＝.
例8（2008福建）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－b2）・tanB＝ac，则角B的值为（）
A. B. C. 或 D. 或
解析由（a2＋c2－b2）tanB＝ac变形得・tanB＝cosB・tanB＝sinB＝，又0＜B＜π，所以B的值为或，选D.
点评通过对条件的等价变形将边转化为角的关系较易获解.
４. 考查面积公式的灵活应用
任意△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则三角形的面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB. 对此公式的考查体现在两个方面.
一根据公式求三角形的面积；二是面积公式的逆向应用（已知面积求边或角）.
例9（2008辽宁）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，求△ABC的面积．
解析（1）由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4． 联立方程组a2＋b2－ab＝4，
ab＝4， 解得a＝2，b＝2．
（2）因为在△ABC中，sinC＝sin（A＋B），由题意得sin（B＋A）＋sin（B－A）＝4sinAcosA，整理为sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，此时Rt△ABC的面积S＝・cb＝×2×＝． 当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，
b＝2a，解得a＝，b＝． 此时△ABC的面积S＝absinC＝．故S△ABC=.
由上可见，解斜三角，不仅囊括了众多的三角函数中的公式，而且融入了丰富的数学思想方法和三角形中的一些基础知识，其解法多样，灵活多变，最能有效地检测出考生理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能，因而受到了命题人的青睐，当然也更应该引起我们的重视.
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