试论弗赖登塔尔的数学素养观及对数学课堂教学的启示:弗赖登塔尔的数学化

　　 [摘要] 新一轮数学课程改革后,学生数学素养的培养进一步得到重视。从弗赖登塔尔的教育理论出发,对数学素养进行界定,进一步给出新课改下数学课堂教学的实施建议。 　　[关键词] 弗赖登塔尔 数学素养 数学课程改革 数学课堂教学
　　
　　弗赖登塔尔是荷兰著名的数学教育家,它的研究成果和实践经验改变了荷兰数学教育的面貌,同时也极大推动了国际数学教育的发展。尤其是弗赖登塔尔在他的著作《REVISITING MATHEMATICS EDUCATION》提到了学习过程本身不是学习的目的,从中培养的素养才是孩子们一生的方法和技能。这与中国数学新课程改革中强调的“使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所需要的数学知识”的教学目标是一致的。但是,在阅读了相关的研究论文及论著后,发现对于什么是数学素养,目前还没有明确的界定。本文通过剖析弗赖登塔尔的数学素养观,从五个方面界定数学素养,进一步探讨它对我国新课改下数学课堂教学的启示。
　　一、弗赖登塔尔的数学素养观
　　1.表达
　　数学语言是以数学符号为主要词汇,表达数学思维的一种科学语言。弗赖登塔尔认为,每一个数学符号都不是干巴巴的,而是富有生命情趣,蕴含丰富的文化意义的。通过对数学文化知识的学习,发现数学的美,“用它特定的符号、词汇和句法去认识世界。”理解数学的思想方法才是数学语言的真谛。
　　具体来说,数学语言表达分为两方面。第一,符号表达。例如,学习集合时,就要学会用图形语言(Venn图)、集合语言(列举法或描述法)描述不同的集合问题;学习函数时,要学会根据不同的需要选择用图像法、列举法或解析法表示函数;学习算法时,要学会用程序框图及程序语句表示算法过程等。
　　第二,交流。弗赖登塔尔认为,语言这种工具是为了交流的需要而产生的。交流的开展,使参与者不得不反思自己语言的准确性,从而加深了对数学本身的理解。
　　2.现实
　　数学来源于现实,也必须扎根于现实,并且应用于现实,这是弗赖登塔尔的基本思想。而在弗赖登塔尔的现实理论中,“情景问题是最基本、最重要的概念之一。所谓情景问题是指来自学生熟悉的现实生活中的问题,也就是数学常识问题。”同时,弗赖登塔尔指出“数学常识是可靠的、准确的,它不像一些物理现象(通常铁比木冷,而受热后铁就比木热)会把人引入歧途。”
　　数学与现实的密切联系决定了数学不能太抽象。弗赖登塔尔认为,数学不是少数人的特权,应该是属于所有人的。M.Fasheh曾经提到:“在脱离现实情景的情况下教授数学,宣称数学知识是绝对的、抽象的、统一的,这正是导致多数学生在数学学习上的失败,并最终远离数学的主要原因”。
　　那么,数学学习者应该主动从现实生活中抓住有用的常识,把这些常识经过提炼和组织形成一定法则,进而在高一层次里成为常识,即系统化的常识。例如,矩形的周长等于四条边的和,这是常识,经过提炼组织,矩形周长等于长与宽的和的2倍,这就形成了系统化的常识。数学的学习就是这样呈现层次性,而学生应该具备从低层次的常识,达到新层次的能力。
　　3.再创造
　　弗赖登塔尔指出,学习数学的唯一正确的方法,就是实行“再创造”,其依据是数学常识的可靠性。整个过程就是学生进行“数学化”的过程,即从一个具体的情景问题出发,最终得到一个抽象的数学概念。可分为两个层次:水平数学化与垂直数学化。水平数学化是指由现实问题抽象为数学问题的过程。例如,一个工人要给一间屋子铺瓷砖,却不知道屋子的大小,他量出屋子的长是5米,宽是4米,能否得到屋子的大小?数学化的问题为:一个长方形长是5米,宽是4米,面积是多少?垂直数学化是指对已经符号化了的数学问题进一步抽象化的过程,是从“符号”到“概念”的转化。例如,上述问题,就转化为长方形的面积等于长与宽的乘积。
　　由水平数学化到垂直数学化,整个过程都是由学生发现、创造,进而得到结果。这与传统的将数学当作一个现成的形式理论的教学方法是截然不同的。在这里,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作,而不是把现成的知识灌输给学生。
　　目前,数学教学中确实开始重视学生的“发现”过程,然而目前的这种教学方式仍然停留在由教师事先设计好一个个问题,像设置“圈套”似地牵着学生的鼻子走,学生还是处于被动状态,所以也许可以把这种“发现”过程理解为带有一定限制条件的“再创造”。而弗赖登塔尔的再创造,学生拥有自由广阔的天地,各种不同思维、不同方法可以自由发展。教师决不可对内容作任何限制,更不应对其发现作任何预置的“圈套”。
　　4.反思
　　反思是自觉地对教学认识活动进行考察、分析、总结、评价、调节的过程。在《标准》中,将学生能否不断反思自己的数学学习过程,并改进学习方法作为评价标准之一。
　　弗赖登塔尔指出,反思是数学思维活动的核心和动力,反思也是数学化过程中的一种重要活动。数学的不少发现来自于现实中的常识,而分析常识形成的原因是通向数学化的道路。必须让学生学会反思,对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实,以便有意识地了解行为背后潜藏的实质,进而变潜意识运用数学概念、性质为显意识运用,变盲目尝试为有目的、有策略地运用,变机械做题为探究性钻研。
　　因此,反思是学生应该具备的一种良好的思维品质。反思包括了一个人对一个问题的认识、理解、探究、整合等多种心理活动。通过反思,人们可以及时调整思维进程,改进思维方法和解决问题的手段,从而提高思维活动的有效性、自觉性和正确性。
　　5.严谨性
　　数学是严谨的。在数学中,每一个定理、公式都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立;数学的推理步骤必须严格遵守诸法则,每一个步骤都是在逻辑上准确无误的。然而,这样一个问题,中奖率为1/1000的彩票,买1000张却不一定中奖。这是否说明数学不是严谨的呢?答案当然是否定的。那么,在具体运用时,如何正确把握数学的严谨性,如何判断所学的数学是否严密呢?弗赖登塔尔指出,严谨性应该是相对的,必须根据具体的问题做出判断。
　　例如,统计人数、统计交通事故数,只要精确到个位数字即可;统计财政收支、消费品零售额(以亿元为单位时),通常精确到十分位或者百分位;而银行的存款月利率却要精确到千分位等。因此,严谨性有不同的级别,每个题材有适合于它的严谨性级别。因此,在量化数学的过程中,学生应该具备在现有水平上,根据不同的目的,不同级别,理解并获得自己的严谨性,准确量化数学的能力。
　　二、弗赖登塔尔的数学素养观对新课改下数学课堂教学的启示
　　弗赖登塔尔的数学教育思想,不仅有了在荷兰的成功实践,并在美国等其它国家内得到尝试。在我国的数学课程改革中,弗赖登塔尔的数学素养观值得我们参考和借鉴。以上是对数学素养的界定,那么,如何在课堂教学中逐步培养学生的数学素养,这里给出几点建议:
　　1.教学对象的转变
　　摒弃只为少数人升学而进行的教学,分数不再是评价学生的唯一标准;我们要将数学教给所有的人。因此,在数学教学中,要坚持“构建共同基础,关注个性选择”的原则。
　　首先让学生获得必需的数学,满足未来公民的基本数学需求。然而,每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念,运算方法和知识结构。而数学课程必须对学生的当下与未来生活有意义,因此,又要关注个性发展,为每个人提供适合于他从事的专业所必需的数学技能,使其能顺利地处理有关的各种数学问题。
　　2.教与学方式的转变
　　要培养学生的数学素养,就不能再坚持传统的“灌输式”教学,教师和学生的身份都要发生改变。教师要由传统的知识传授者向活动的参与者、引导者、合作者转变;由传统的教学支配者、控制者向学生学习的组织者、促进者和指导者转变;由传统的静态知识占有者向动态的研究者转变。学生也要由被动接受知识的容器转变为主动学习的设计者、主持者、参与者。
　　在教学中,首先,教师要创造一个宽松、和谐、民主的教学氛围。留一些余地,给学生思考的空间和时间,并引导学生多想一点、多问一点、多写一点,鼓励学生进行反思,培养学生自主学习的能力。其次,鼓励学生改变孤军奋战的习惯,多交流,由单一学习转变为合作学习。
　　3.数学现实的转变
　　数学与社会生活、生产实践密切相关。目前,教师也尝试在教学中通过情景引入教学。然而仍存在两个问题:一是教师使用的情景与学生的现实相差甚远,或者说,该情景是成人世界的现实而不是一个中学生的现实;二是由于不同学生的生活环境、教育背景的不同,仅用一个情景材料不能满足所有学生的需求。因此,一方面,数学教师要走进学生的现实,从学生的实际出发;另一方面,强调情景材料的丰富性和灵活性。从情景材料出发,进而引导学生进行再创造。
　　总之,在课堂上,数学教师应以教师的师爱调动学生,以教师的情感感染学生,以教师的语言鼓舞学生,以教师的评价激励学生,以教师的人格影响学生,淡化分数,强化素养,为学生的现在负责,为学生的未来负责。
　　
　　参考文献:
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