[数感培养“五法”] 数感的培养

　　凤凰卫视当家花旦曾子墨在世界摩根斯坦利银行应聘时，面试官问她：“如果你找到一份工作，薪水有两种支付方式：一年12000美元，一次性全部给你；同样一年12000美元，按月支付，每月1000美元。你怎么选择？”曾子墨回答：“这取决于现在的银行利率。如银行利率是正数，我选第一种；如是负数，我择第二种；如果是零，两者一样。同时，我还会考虑成本机会。即使实际利率是负数，假如有好的投资机会能带来更多的回报，我还是选择第一种。”因曾子墨全面周密的回答，面试官在其评定书上填写的是：不惜代价，一定要雇佣！
　　在这里，笔者不想分析曾子墨的思维敏捷度、思维空间宽窄等问题，而是从数学的角度来看，其具备了一种较高的数学素养――良好的数感，即主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。《数学课程标准（实验稿）》对数感的主要表现进行了六个方面的详细阐述；（1）理解数的意义；（2）能用多种方法来表示数；（3）能在具体的情境中把握数的相对大小关系；（4）能用数来表达和交流信息；（5）能为解决问题而选择适当的算法；（6）能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。一个人所具有的数感不是天生的，而是可以通过后天的数学教育，通过有意识地培养来形成。笔者结合教学实践，谈一谈培养小学生数感的五种方法，希望能起到抛砖引玉的作用。
　　一、观察：在细微处探寻数
　　苏霍姆林斯基在其《给教师的一百条建议》第74条“学生应当掌握的最重要的技能和技巧”中，把“观察”排在最前面：“我把学生在10年内应当掌握的最重要的技能和技巧按一个竖式排列出来，其结果如下：（1）会观察周围世界的现象。（2）会思考――即会类比、比较、对比，找出不懂的东西，能提出疑问。（3）会表达关于自己所见、所观察、所做、所想的事情的思想……”第76条“怎样对待学习有困难的儿童”中又强调：“在学校工作的36年使我深信，在小学里对儿童进行教学，这首先就是教给他们观察和发现世界。……发展年幼儿童的思维，这首先就是发展他看见和观察的能力，就是通过对周围世界的视觉感知来丰富他的思想。教育者的任务就在于让儿童去觉察事物和现象中那些最细微的判别和变化，思考各种因果联系。”学生对数的观察能力的高低，反映了其数感的强弱。要培养学生良好的数感，首先应该从培养学生观察数的能力开始。通过认真观察，使学生能在细微处觉察出数所隐藏着的秘密，从而感知数学知识的内在含义和规律特征，建立初步的数感。
　　在进行有关数的计算时，学生往往不观察数的特征，就急于动笔计算，导致对一些题目的计算既浪费时间，准确率又不高。因此，在计算教学中，教师应培养学生养成先观察数的特征，寻找规律，后动笔计算，即“三思而后算”的习惯，使计算既巧妙、简便，又准确。如：777×9+111×37，初看这四个都是不同的数，没什么规律可循。但是，再认真思考，可发现“777”可以变成“111×7”，7和后面的9相乘等于63，然后逆用乘法分配律，算出结果是11100。即：
　　
　　
　　又如：仔细观察，不用计算，在○里填上“＞”、“＜”或“=”，并在□里填上合适的数。
　　①99×99+199○100×100
　　②999×999+1999○1000×1000
　　③9999×9999+19999○□×□
　　题目明确要求学生要“仔细观察，不用计算”，迫使学生去观察各算式中的数及运算符号所隐含的规律：算式①左边可以通过拆数和逆用乘法分配律将其变成与右边的“100×100”完全一样：99×99+199=99×99+99+100=99×（99+1）+100=100×100，所以○填“=”。算式②③可以依此类推。
　　经常要求学生这样进行先观察后计算，或不用计算，只依靠观察算式的规律及数的特征解决问题的训练，并使之形成一种解题的习惯，学生的数感必会得到不断增强。
　　二、转化：在变化中感知数
　　在每年的元旦和春节，很多人都会收到或发出这样的一条祝福短信：“愿您一年12月月月平安，365天天天开心，8760小时时时快乐，525600分钟分分精彩，31536000秒钟秒秒幸福。”这条短信很好地利用了大众的数感，使人体会“用不同的数来表示相同的内容：一年时光的相对意义”，以及这些数所承载的时间长短、心情指数等内容。
　　在日常生活中，也会经常遇到一些考验我们认识和感受数的大小的情形，如《杭州市城市公共交通乘车规则》第五条有对乘客携带物品的规定：“每位乘客可免费携带重量不超过15千克或体积不超过0.064立方米，或占地面积不超过0.25平方米的行李物品。”对乘客而言，要认识“体积不超过0.064立方米，或占地面积不超过0.25平方米”这一规定，从而决定是否购票，其脑子里势必要将这两个数据进行转换，才能想象出该行李的大小。笔者猜想，大多数乘客都需要进行如下的转换，才能在各自的脑海里对这样大的行李形成一个大致的空间观念：“0.064立方米”――64立方分米，也就是长、宽、高分别是4分米，即40厘米；“0.25平方米”――25平方分米，也就是长、宽分别为5分米，即50厘米。
　　转化包含不同计量单位之间的转化，如上面分别用年、月、天、时、分、秒等时间单位来衡量同样长的时间；包含不同计数单位之间的转化，如10000是10个千，是100个百，是1000个十；包含不同种类数之间的转化，如0.25= =25%。
　　要让学生能把这些不同的计量单位、不同的计数单位、不同种类的数自如地进行切换，敏锐地感知一个数的不同表示法，一定要求他们能熟记常用数据，如20以内数的平方，常用的小数、分数、百分数的互化，10以内数的立方，各种计量单位之间的进率，典型算式的值：如125×8=1000，25×4=100等。只有熟练才能生巧，才能提高数感。
　　三、参照：在比较中感受数
　　现实生活中曾发生过这样一件事：2009年7月初的一天，王某去某银行补登其夫妇俩的住房公积金存折。补登完后，她习惯性地检查一遍补登的各笔数量。其中，夫妇俩的存折上都在7月1日有一笔结息记录。如果分别单独看两本存折，发现不了问题：谁也不会怀疑银行电脑上的自动计息会出错。巧的是，王某把两本存折放在一起看，问题就出现了：王某的金额是14041.88元，利息135.14元，其丈夫的金额是12860.93元，利息是164.34元。很明显，王某的金额多，利息少；其丈夫的金额少，利息反而多。根据王某的反映，银行进行了核查，原来是电脑程序出错。王某能发现银行计息的错误，就在于她把两本存折放在一起看，使原本各自独立的数据有了比较、参照的可能。
　　在小学数学教学中，有时候教师可以引导学生寻找参照物或“参照数”来感受大数、陌生的数或把握数的相对大小关系，从而化大为小、化繁为简、化难为易、化抽象为具体。如拇指指甲盖的面积约是1平方厘米，图钉的长大约是1厘米，1分硬币的厚度大约是1毫米等等。
　　又如：“将下列数按从小到大的顺序排列：①0.5286②102%③ 。”这道题可以通过化成小数或通分来比较三个数的大小。如果化成小数，把第③个数化成小数，难度是可想而知的；如果通分，则难度更大。要简单一些，可以引导学生找“参照数1”来比较： 比1小且接近1；102%大于1，0.5286接近1的一半，由此可以很快按顺序列出：0.5286＜ ＜102%。
　　四、有序：在直观中表示数
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　赵本山在2010年“春晚”表演的小品《捐款》所抖的包袱是一个善意的“错误”，本意捐3000元，却在刷卡时多摁了一个“0”：“三千嘛，他就告诉我四位数嘛，我按四个零儿嘛……个、十、百、千……妈呀，前边儿还有一个三呐！”如果在刷卡时赵本山能在手指摁数字键的同时口里同步念叨“千、百、十、个”，那么这个“错误”就不会发生。这就涉及表示数的直观性、有序性问题。在教学中，教师应引导学生直观地、有序地表示各种数。
　　比如，一年级上册“11~20各数的认识”，除了让学生会数数、读数、知道各数的顺序和大小、写数、个位和十位外，还有一个不能忽视的内容，就是要帮助学生实现从单个计数到以群计数的思维的跨越，使他们知道“怎样摆放1堆小棒，别人不数就能一眼看出是多少根”，并从中感悟到以十为单位来计数的优越性，同时为下册学习20以内的进位加法奠定“凑十”的基础。
　　同样，在解答下面这类题时，教师可以指导学生有条理地整理各数：在3.14、3.144、π、3. 、3.142、324%这六个数中，最小的是（ ），最大的是（ ）。首先，把π、3. 用省略号形式表示，把324%转化成小数。其次，按相同数位对齐的原则，把这些数进行整齐地排列；第三，按从大到小或从小到大的顺序给这些数编号经过这样的有序整理，谁大谁小一目了然。
　　
　　
　　五、体验：在实践中触摸数
　　培养学生的数感，一个很重要的方面就是要帮助学生建立最基本的计数单位，如个、十、百、千、万。最基本的计量单位，如1克、1千克、1厘米、1分米、1米、1千米等的概念。学生只有对最基本的计数单位、最基本的计量单位感知正确，才能在此基础上感知更大的数量。通过什么方法来使学生建立这些概念呢？有人说：“听过了会忘记，看过了能记住，做过了才能学会。”毫无疑问，只有“做”，让学生亲身实践、亲身体验，才能使他们真正触摸到数的大小，从而知道1千米有多长？1吨有多重？1平方米有多大？
　　如建立1千米的概念，可以按由小到大、由易到难、由课内延伸到课外的原则分四个层次让学生体验其长度；①重温10米的长度概念，走10米长的一段路，并数出自己大约走了多少步？估一估，按照走10米所需的步数，走100米大约需要多少步？100米有多少步那么长？②建立100米的长度概念，组织学生走一走100米长的一段路，并数一数实际需要走多少步？估一估，按照走100米所需的步数，如果走1千米，大约需要多少步？③在跑道上走一走，看看1千米需要走多少步？大约花多少时间？想一想从哪里到哪里大约有1千米，可以和爸爸妈妈一起验证。④写一篇《1千米有多长》的数学短文，谈一谈自己对1千米长度的认识。
　　总之，正如课改专家马云鹏所云：“数感强的人眼中看到的世界，可能与其他人不同，遇到可能与数学有关的具体问题时，能自然地、有意识地与数学联系起来，或者试图进一步用数学的观点和方法来处理和解释。因此，数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识。是人的一种基本的数学素养，它是建立明确的数学概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。”然而，小学生数感的形成并不是一朝一夕能达成的，需要教师在教学中做个有心人，指导学生运用观察、转化、参照、有序、体验等多种方法，探寻、感知、领悟、表示、触摸数，揭示各种数所隐藏的秘密，使学生不断增强数感，提高其数学素养。
　　作者单位
　　福建省武平县教师进修学校
　　◇责任编辑：曹文◇
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