互见 以简驭繁,博约互见

　　授课：许卫兵（海安县实验小学副校长，特级教师） 　　点评：陈今晨（海安县教育局教研室） 　　 　　【名师档案】 　　许卫兵，男，1969年生于江苏海安，江苏省小学数学特级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”中青年科学技术带头人，“江苏人民教育家培养工程”首批培养对象，江苏省海安县实验小学副校长。1998年参加江苏省小学青年教师优秀数学课竞赛获一等奖，2006年参加全国新课程课堂教学比武获一等奖，2004年开始参加国标本安徽少儿版数学新教材编写。撰写的论文四次获得“教海探航”征文竞赛一等奖，三次获得全国一等奖。2006年，提出“简约数学教学”主张并带领团队实现理论与实践的双向同构，产生一定影响。著有《简约数学教学》一书，参编《走近儿童的数学学习》、《小学数学典型课教学评论》等著作，主编《走向共生》和《交往教育》系列教材。在《课程・教材・教法》、《人民教育》等刊物上发表论文近200篇，参与、主持了十多项国家级、省级课题研究。先后在国内20多个省份上课、讲学200多场。《江苏教育》、《小学教学》、《小学教师培训》等杂志对其成长故事进行了专题报道或以封面人物进行了介绍。
　　
　　授课时间：2010年5月
　　授课地点：溧阳市实验小学
　　授课年级：三年级
　　一、联系生活，引出小数
　　（课始，教师出示一张超市外景图片）
　　师：昨天，老师去“超市”购买了些学习用品，你们看我买了些什么――
　　（多媒体显示图片）
　　生：水彩笔，美工刀，铅笔，橡皮，笔记本，钢笔。
　　师：买东西都需要花钱的，这几样东西各花了多少钱呢？
　　（分别显示标价：水彩笔12元、美工刀3元5角、铅笔0.4元）。
　　师：（在黑板上贴出“0.4元”）这是个什么形式的数呀，认识吗？
　　生：它是小数。
　　师：（板书：小数）你说得对。有人说，小数的模样很特别，一眼就认得出来，你看呢？
　　生：小数里都有个点。
　　生：这个点叫做“小数点”。（师板书：小数点）
　　师：是啊，“小数点”是小数的一个标志。（指着0.4）这个小数会读吗？会写吗？
　　（齐读、齐写0.4）
　　【评析】“认识小数”是儿童的数学概念由整数向小数跨越的起始点。教者尊重儿童已有的生活经验，从儿童所熟悉的“超市购文具”的题材入手，真实地搜集、开发几种文具的标价，作为承载小数的课程资源。整数、复名数和纯小数、带小数等混杂出现，既可以相互比较，又便于有序选用推进教学。教者采取看似随意交谈的方式简约创设生活情境，借助超市外景和文具实物投影，快速诱导对标价中的小数进行关注与探讨。由小数的“模样”而到小数的读法和小数的写法，让儿童尝试着表达，自主地展露他们已有的生活经验与知识基础，做数学学习活动的主人；教者则引而不发，以学定教，自觉坚持儿童立场。
　　二、画图示意，沟通联系
　　师：知道“0.4元”是多少钱吗？
　　生：0.4元就是4角。
　　（师板书：4角=0.4元）
　　师：4角钱有没有1元多？
　　生：没有，少得多。
　　师：看来，和1元相比，0.4元只能算是一个“零头”了。如果我们用这样的一个长方形表示1元（出示一张长方形白纸），你能想办法将0.4元表示出来吗？
　　（学生拿出练习纸折折、画画、涂涂，将自己的设想表示出来）
　　师：老师看到好多同学把这张长方形的纸拿在手上不停地在忙着――
　　生：折！
　　师：告诉老师，你们想折出什么结果？
　　生：把它折成10等份。
　　师：为什么要折成10等份呢？
　　生：因为1元等于10角，折成10等份后1份就是1角，4份就是4角。
　　（再展示几张学生动手折、画、涂的纸片，归纳共性：画的长方形平均分成10份，其中的4份涂色）
　　师：通过大家的创造，可以看出，0.4元就是将1元平均分成10份，表示出其中的4份。（屏幕逐步显示1元平均分成10份，1份是1角，然后再涂4份的过程）
　　师：这样的图示，大家并不陌生吧。它让你想起什么了吗？
　　生1：以前咱们学分数时，也是这样子平均分一分、涂一涂。
　　生2：我想到了4/10元。把1元平均分成10份，其中的4份就是4/10元。
　　师：哦，原来0.4元和我们熟悉的4/10元的意义一样啊。（在图上补充“0.4元=4/10元”）
　　【评析】画图示意小数值的教学，教者安排了三步。首先，大胆地先让儿童凭借生活经验，尝试猜测、比较所出现的铅笔标价0.4元与1元的大小，并且用生活语汇“零头”，形象、贴切地大略表征了小数0.4元与1元的数值比附关系。接着，启发学生用“长方形表示1元”诱导儿童“想出办法”表示0.4的大小。学生开展折、画、涂等多途径、多方式、个性化探究活动之后，再归纳其中共性化的数学要素――把长方形纸片分为10等份，其中4等份涂色。最后，教者运用课件，渐次投影出现学生的探究操作过程：先平分为10份，再染色4份，并在示意图上显示“4角＝0.4元＝4/10元”。在学生探究操作后，教者随后的投影再现并不多余，而是发挥了教者的主导作用，具有三层意义：一是认可表达――对学生操作的肯定赞同，使得学生因与老师操作大致相同而受到鼓舞；二是分析表达――带着教学目的的慢镜头分解学生探究操作的步骤，使得学生更清晰地认识操作的过程性；三是规范表达――准确无误地再现小数0.4的十进分数数值图示表征，使学生获得对小数0.4数值大小的形象理解再次强化。
　　师：我们再来看橡皮。它的价钱是多少呢？（出示：0.8元）0.8元是多少钱？
　　生：0.8元就是8角。
　　师：又是一个不足1元的零头，如果我们还是用这样的一个长方形来表示1元，那0.8元又该怎么表示呢？
　　（学生参照刚才的方式，将1元平均分成10份，涂出其中的8份，并得出，0.8元和8/10元表示的意义是一样的）
　　师：（出示一个空白的长方形，平均分成10份）如果给大家这样的一个长方形，用它来表示“1”，你还能任意涂出其中一部分，表示出一个小数和相应的分数吗？动手试一试吧。
　　（学生动手涂色、写数，选择几个学生自由展示后，教师组织梳理：0.1就是十分之一，0.2就是十分之二……0.9就是十分之九，从而概括出：“零点几就是十分之几”，“零点几的意义和十分之几的意义相同”）
　　师：（对着九份填色，只有一份空格的图）现在已经有了几个0.1了？再来1个0.1是多少？
　　生：10个0.1是一。
　　师：咱们已经知道10个一是10，10个十是100，10个百是1000……满十进一，现在我们又发现了10个0.1是――（生齐：1），也是满十进一，真有意思啊！
　　师：接下来我们再来看看笔记本的价格。这一次，我不直接告诉你买笔记本用了多少钱，而是给你一个图示，看你能不能知道它的价钱？
　　（出示笔记本的价钱图示）
　　生：笔记本的价格是1.2元。
　　师：你是如何观察的？
　　生：现在有两个长方形了，第一个涂满了颜色，表示整1元。第二个平均分成了10份，涂了其中的2份，也就是2角钱、0.2元，合起来就是1.2元了。
　　师：同意他的想法吗？（生齐：同意）有没有补充的？
　　生：刚才的图形都是表示的零头，小数都是“零点几”。现在有一个整的了，小数也变成“一点几”了。
　　师：（带头鼓掌）说得真棒！说到点子上了。我买的第六样物品是钢笔，它的价钱是8.6元，如果让你画一幅图来表示它的价钱，你准备怎样画呢？
　　生：我准备先画9个大小一样的长方形，然后把前面8个涂满颜色，第9个长方形平均分成10份，涂其中的6份。
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　　【评析】铅笔标价的小数值探讨结束后，接着完成对同为一位纯小数的橡皮标价0.8元的小数值探究。教者放手由学生操作，进而理解任意表示十分之几的一位小数。教者此处的主导功夫花在归纳、概括的引导上，使学生明确认识小数的意义重点――“零点几就是十分之几”，“零点几的意义和十分之几的意义相同”。其间，教师还对着只有一份空格的图提问所表示小数计数单位个数，把10个0.1等于1的进率顺利地诱导出来。再运用进率，把整数、小数计数法中“满十进一”的规则揭示出来。其间的认知推进路径表现为由若干个具体、个别现象走向概括、一般的抽象。继之，再引导学生逆向思维，由图示推知小数数值，探究笔记本的带小数标价。教者让学生相互评价，引导学生对两类小数的语言模式进行概括，获得“零点几”和“一点几”小数模型的生成性表达。教者对此带头鼓掌，热情赞扬，再顺势让大家类推出钢笔的小数价钱图示法的叙述。这使得课堂教学知识目标丝丝入扣，落到实处。
　　三、迁移扩散，提升认识
　　师：（出示一根米尺）数数看，在米尺上，1米长被平均分成了多少份？
　　生：1、2、3、4……10份。
　　师：巧得很，也是10份，那一份的长度是多少？（1分米，十分之一米，0.1米）
　　师：请你用这把米尺帮助量量两根彩带的长度。（出示红、绿两根彩带：红彩带长0.9米；绿彩带超过1米，不足2米。）
　　师：有什么办法能知道这根彩带的长呢？
　　（根据学生的设想演示两种办法：一是把超过一米的零头单独量一下，有3小格，彩带全长1.3米；二是在原来的米尺后面再增加一根米尺，变成2米尺，直接看出是1.3米。）
　　
　　
　　方法一：
　　
　　
　　方法二：
　　
　　
　　师：如果彩带的长度超过了2米，怎样能确定它的长度呢？
　　生：在尺的后面继续接上一根米尺，变成3米尺。还不够，再往后接……
　　师：在数学里，有一种简洁的方法把大家的意思表示出来。（将2米尺渐变成带箭头的数轴）
　　师：向箭头的方向延长，我们就能表示更多的数，这叫做数轴。数轴下面的这些数0、1、2、3……都是我们以前碰到的，我们叫做自然数，自然数是整数的一部分。如果将这根数轴再延长些，我们还能在上面标出哪些自然数？很是神奇吧！如果我将数轴上的每一段都平均分成10份，现在这些点表示多少？（学生回答）
　　【评析】以上进入用长度来表征小数，从米尺开始，突出小数中的十进制。教师组织学生观察、认识舍去厘米而特制的米尺，让学生发现1米长度在米尺上也是“巧得很”被平分成10份，从而与币制中的元与角的进率一致。这样，十进制的普适性在课上被教者巧妙地安排学生“发现”了！接着，使用米尺来测量红、绿两根彩带的长度：0.9米和1.3米。对于超过1米的彩带如何量，教师让学生“自想办法”，再根据学生的设想演示，或单独量超过1米的“零头”，或再续接一把米尺，成为2米尺、3米尺。至此，教者瓜熟蒂落地提出怎样确定超过米尺长度的度量问题，引导出数学上的简洁方法，用“向箭头的方向延长表示更多的数”，从而引出了数轴，并由“数轴再延长”进而导出自然数及与自然数相联系的无数个小数。教师从实物米尺和数轴的联系中简约构思，使用并不复杂的教学元素，依托米尺与数轴内在十进制的联系将小数的组成进行有形化、直观化的表达。教师对教学内容进行简化处理，以有限对无限，用无形替有形，不失时机地进行了数学思想方法的有机渗透。
　　四、立体拓展，强化感受
　　师：小数在生活中可是常见常用，你能举些例子吗？
　　（先让学生例举生活中的小数，然后教师出示有关信息加以补充）
　　世界上最小的鸟――蜂鸟约重1.8克，连2克都不到。蜂鸟的蛋约重0.2克，相当于把1克还平均分成10份，其中2份的重量。
　　明明想要坐火车旅游，铁路部门规定：1.2米以下的儿童免票，1.2米～1.5米的儿童半票，1.5米以上的儿童全票。明明的身高是1米4分米，他应该怎样买票呢？
　　（学生回答）
　　师：（出示飞镖盘）这是一个飞镖盘，上面写着些什么数？（1、2、3、4……9，这些都是自然数，也是整数）如果飞镖不能正好击中这些整环数，为了将投中情况区分得更精确些，就产生小数的环数了。谁来试一试。
　　（学生玩三次，成绩为：9.4环、8.7环、9.3环）
　　师：哪个成绩最好？（9.4环）它比第二好的成绩多了多少环呢？（0.1环）你可别小看了这么微小的差距，在2008年北京奥运会上，我国射击运动员邱健就是以0.1环优势获得金牌的。
　　（屏幕显示）
　　2004年奥运会，“飞人”刘翔以12.91秒的成绩摘取110米栏奥运金牌，成为中国历史上第一个男子田径奥运冠军。
　　师：12.91这个小数有什么特别吗？
　　生：它的小数部分是91，有两个数字。
　　师：孩子们，数学有时就那么精确。小数部分越多，精确度就越高。当然，数学求真也求美。（屏幕显示芭蕾舞演员图片）这是同学们熟悉的芭蕾舞，演员为什么会不断踮起脚尖呢？这其中藏着一个数学秘密。因为此时她的腿长大约是身高的6/10，6/10=0.6，最接近0.618。而0.618堪称黄金数，是数学里最完美的比，数学家说：哪里有0.618，哪里就闪烁着美的光辉。
　　生：0.618的小数部分增加到三个数字了。
　　师：（点头赞同）看来小数里的学问还蛮大的，来听听老师搜集的资料吧。
　　（播放录音，同步演示课件）
　　同学们，小数的历史非常悠久，1700多年前，我国数学家刘徽就明确提出了十进小数的概念。后来人们采用将小数部分降一格，在整数部分和小数部分之间或者加上分割线、或者加上一个“余”字、或者什么都不加只把两部分分隔开等方法表示小数。400多年前，瑞士数学家想到用空心圆圈隔开两部分。到了1593年，德国数学家克拉维斯提出用小黑点代替空心圆圈。从此就有了现在的小数。
　　师：一个不起眼的小数点，经历了几百年的发展历史，看来啊，小数不小，小数的世界很大，随着我们对小数学习和研究的深入，相信大家会有更深刻的感受！
　　【评析】收束全课前，教者着意铺陈，尽力立体拓展：首先是小数文化的浸润和拓展。从蜂鸟的体重及其蛋重表示克数的小数，到乘火车时的儿童票价免费、优惠的身高米数中的小数，再到体育运动中飞镖射中的环数、刘翔比赛成绩中的小数，最后把踮起脚尖的芭蕾舞姿所形成的黄金分割数的美感道理运用图片阐述出来，让学生感悟到了数学的价值和小数表达的审美意义。课的最后，简介了小数出现和表达的演变历史，强化了“小数不小，小数的世界很大”的学习感悟，激励学生不断深入领略小数学习的高妙境界。其次是小数数位知识的拓展。从一位小数――飞镖环数，到两位小数――刘翔比赛成绩数，再到三位小数――黄金分割数。最后是文化知识学习目的性的教育拓展。既介绍小数的表达情况，也宣讲小数数位与精确度的关系，以2008北京奥运会我国射击运动员夺金的具体事实，让学生认识到小数的作用和应用意义。
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