【“圆”应该注意的多解问题】园中的两解问题

　　在数学考试中，由于时间紧任务重，学生的精神高度紧张，所以对于不只一个答案的问题，学生在解答过程中往往会丢解，即使教师在试卷讲评时多次强调，效果也不是很好.因此，教师有必要把这些题进行归类总结，进行系统讲解.现在，笔者把平时遇到的这方面的题收集、归类，便于初三学生进行复习.
　　一、同圆中弦所对的弧有两个，由此产生多解问题
　　例1：⊙O中弦AB所对的圆心角为110°，那么，它所对的圆周角为多少度？
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　　错解：如果不给出上面的图，很多学生会根据圆周角定理得出55°的结论.
　　而从图中可以看出还有一个解为125°，因此正确答案为：55°或125°.
　　例2：P为⊙O外一点，PA,PB分别切⊙O于点A，B，∠APB=50°,点C为■上一点（不与A,B重合），则∠ACB的度数为 .
　　错解：在教师所批的试卷中，很多学生会给出答案65°.
　　实际上■有两个，当点C落在另一位置时，∠ACB的度数为115°.
　　二、两圆相切时产生多解问题
　　例3：若相切两圆的半径分别是方程x2-12x+27=0的两根，则两圆的圆心距为 .
　　错解:设方程两根分别为x1,x2,根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=12,所以相切两圆的圆心距为12.
　　分析：此解只是圆与圆位置关系“相切”的一种“外切”，圆心距等于两半径之和，但是相切还有另一种位置关系“内切”圆心距等于大圆半径减去小圆半径，正确的解答为：
　　x2-12x+27=0，解得x1=3，x2=9.
　　外切时圆心距为x1+x2=3+9=12;内切时圆心距为x2-x1=9-3 =6.
　　三、两圆相交时产生多解问题
　　例4：相交两圆的半径分别是5和3，公共弦长为4，则圆心距为 .
　　错解：如下图，∵O1O2垂直平分AB,AC=■AB=2
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　　在Rt△AO1C与Rt△AO2C中,根据勾股定理得O1C=■ +■.
　　剖析：两圆相交有两种情形，一种是圆心在公共弦两侧，如上图；一种是圆心在公共弦同侧，如下图.此种情形时的解为：
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　　∵O1O2垂直平分AB,AC=■AB=2
　　在Rt△AO1C与Rt△AO2C中,根据勾股定理得O1C=■ -■.
　　所以，两圆的圆心距为■+■或■-■.
　　同理，两圆相离有外离和内含两种位置关系，因此也会产生多解问题，在此不做赘述.教师在平时要多提醒学生，做题过程中的易错题，要多进行归类、总结，一定会起到事半功倍的效果.