一道球面距离题的变式探究|球面距离

　　 [关键词]数学 球面 变式 探究 　　 　　在解题之后,对习题进行一番探讨,对习题的条件和结论再做深一步的研究,从各个不同侧面进行深入思考,可以帮助学生深入研究数学问题,拓展数学基础知识,达到举一反三、融汇贯通的效果.
　　本文就从一个例题引入,进行变式探究。
　　
　　【例】如图1所示,设地球半径为R,在北纬45°圈上有A、B两点。点A在西经40°,点B在东经50°,求A、B两点间纬线圈的劣弧长及A、B两点间的球面距离。
　　【解析】这类问题的一般解法是先在△ABO�1中求出∠AO�1B的弧度数,进而求出A、B两点在相应纬度上的劣弧长,然后在△ABO中求出△AOB的,弧度数进而求出A、B两点间的球面距离。
　　本题结论:在北纬40°圈上,A、B两点间的劣弧长为24πR;A、B两点间的球面距离为13πR。
　　【变式1】在北纬45°圈上有A、B两点,该纬线圈上A、B两点间的劣弧长为24πR(R为地球半径),求A、B两点间的球面距离。
　　分析:如图2,欲求A、B两点间的球面距离,需求出∠AOB的大小,再用弧长公式求解。解:设北纬45°圈的小圆圆心为O�1,半径为r,则由∠OAO�1,得r22.
　　设∠AO�1B=θ,则r•θ=22R,解得θ=π2,所以AB=R,△AOB为正三角形,所以∠AOB=π3。从而A、B两点间的球面距离为π3R。
　　【评注】本题用到了纬度,地球上某点的纬度是指经过这点的球半径与赤道平面所成角的度数,此角为线面角;某点的经度是指经过这点的经线与地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角度数,此角为二面角。
　　【变式2】把地球当作半径为R的球,地球上的两点A、B的纬度都是北纬45°,A、B两点间的球面距离为π3R,A在东经20°,求B点的位置。
　　分析:纬度圈与赤道圈可看作是两个平行的圆面,且OA、OB与赤道平面成45°角,过A或B且与赤道平面垂直的半个大圆是经度线,所以只要求出二面角A′-CD-B′的大小即可。
　　解:如图3,易知∠AOB=π3,因此AB=R。过A、B分别向赤道平面作垂线,垂足分别为A′、B′,则OA′=OB′=22R。又AB=A′B′,故∠A′OB′.因A在东经20°处,所以B点的位置在90°±20°处,即在北纬45°东经110°或北纬45°西经70°处.
　　【评注】
　　1.解答本题的关键是根据问题的题设和所求,将问题的空间图形想象清楚。
　　2.要明确球面上A、B两点的直线距离和球面距离的区别。
　　3.搞清经度、纬度等概念是计算类似问题的关键。
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