设计一个大致可信的、自然的知识生长过程 自然哲理希望面霜 豆瓣

　　2007年11月，杨之先生来长沙参加全国初等数学研究会第六届第二次常务理事会。我与之偶遇，获得一本他赠予的《一种新型的数学教育方式：GH――对“MM教育方式”的实验探索》。
　　时间回到1989年5月，在我国数学教育家徐利治提出的“把数学方法论用于数学研究和数学教学改革”的方针的指导下，在首都师范大学，周春荔和杨之倡议并主持召开了“全国首届波利亚数学教育思想与数学方法论研讨会”，江苏无锡市教科院的徐沥泉出席了这次会议同年，他设计了一项“贯穿数学方法论的教育方式，全面提高学生素质”数学教育实验(简称MM课题或MM实验)，经专家论证后，于1989年8月开始实施。经过五年三轮的在数十个教学班的系统实验，1994年8月结题，通过了由王梓坤、徐利治、林夏水、张奠宙等组成的专家组的严格鉴定，从而产生了“MM教育方式”，并进入边实验边推广的阶段。这就是MM教育方式的起源。
　　对于MM教育方式，以前我只是略有所闻，并未细细了解。读了这本书后，算是对它有了大概的了解。同是数学教育工作者，我非常赞同和佩服他们的做法，并且对它的八个可控变量(数学返璞归真教育，数学审美教育，数学发现法教育，数学家优秀品质教育，数学史志教育，演绎推理教学，合情推理教学和一般解题方法的教学)情有独钟，尤其是第一个变量数学返璞归真教育，原因说来话长。
　　数学有三种不同的形态：一是数学家创建数学结构过程中的原始状态；二是整理研究成果之后发表在数学杂志上、陈述于教科书上的学术形态；三是便于学生理解学习、在课堂上出现的教育形态。显然，课本中叙述的数学知识，往往并不是它发生、发展的本来面目，而是经过许多人的多次加工整理而成的。因为这至少有两个优点：一是用了我们熟悉的语言符号和方式进行表述，便于我们读懂；二是比较简练、有序，表面上能自圆其说，有利于学生在一定的学习时间之内掌握。
　　但是这也带来了一些问题。一些知识的被发现、被想到的动因和过程完全被忽略了，它们无家史，无来历，很难理解，就像魔术师的帽子里跳出的兔子，或者是从石头缝里钻出的孙猴子，比较突兀。
　　怎么办?难道要我们的教材编写者回到欧几里得时代去寻找它们的来历吗?这似乎有点强人所难。即便找来文献，那些生僻的符号和繁冗的叙述，我们也看不懂。但是，天性聪明的人们自然有办法。波利亚就给出了极好的建议：设计一个大致可信的、自然的(有一定的弯拐歧路的)知识生长过程，像历史和现实在戏剧中的重演一样，返璞归真就是这样出来的。
　　在我的印象中，有两个例子比较经典。
　　第一个例子是小学的“角的度量”。有经验的老师都知道，不论是人教版教材还是苏教版教材，都是给出要量角的情景后，直接出示一个量角器的图，然后组织学生测量。这既没有讲如何用量角器量角(苏教版还好一点，画了一个量角的样板图，却提示一句“你能照样子用量角器量出下面角的度数吗?”这反而适得其反，巩固了中国学生的模仿天性，让人觉得似乎又回到了从前的灌输模仿式教学)，也没有提示为何量角要用这样子的量角器(为什么有两圈刻度呢?)由于教材这样编排没有体现出量角器的本质，因此很大一部分老师把这一内容作为技能训练课，按部就班地告诉学生“先对点，然后对边，最后读刻度”。这个内容历来成了小学数学教学的难点，学生问题也主要集中在两方面：一是量角器的摆放。即如何量的问题；二是利用内外圈正确读出角的度数，即没有理解为何有两圈刻度。
　　量角器到底是怎么样形成的呢?我们可能难以找寻其真正历史，但我们可以推测出一个最令人信服的形成过程。
　　古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为，所有的事物和现象都可归结为整数与整数之比。对于任意线段，如果要求其长度，他们给定一个单位长度，然后用这个单位长度去衡量要求的线段，看这个线段含有几个单位长度，这条线段就有多长。也就是说，他们认为，任意线段都有一个共同的度量(能归结为整数之比)。这大概是测量的本质起源。
　　千古传承，从本质上说，我们平时用尺量长度、用方格纸来测量面积、用量角器测量角等，都是利用基本单位与要测量的对象进行比较，看看被测量对象中含有多少个基本单位，它的值就是多少。因此，量角的本质就是看被测量的角中含有多少个基本单位的角。为了方便，我们规定，以1°为基本单位角。那么，量角器的本质就是基本单位的角的集合。
　　有了这些本源知识，我们不难理清量角器的大概成长过程了。
　　最开始，由于某些现实的原因，人们需要比较两个角的大小，这个很容易做到，比如将角重叠等。做到这个以后，人们不禁产生了疑问，两个角中，大的角比小的角大多少呢?接下来，我们自然要对两个角进行测量。根据上面的知识，我们就应该用基本单位角去比对要测量的角了，于是，我们最原始的想法是拿一些基本单位角一一和要测量的角做无缝重叠。这样做果然可以完成任务，似乎就心满意足了。但不能总是带着一大堆基本单位角放在身上以便随时测量吧?人类天性喜欢“偷懒”，善于寻找更简单快捷的方式――把这些单位角进行组合-由于生活中我们一般只讲0°-180°的角，因此我们只需要拿180个基本单位角组合就可以了，这正好拼成了一个半圆。量角器的雏形出来了。可问题又来了，180个基本单位角组合，画图一看，密密麻麻的，必须做一些技术处理。人们骨子里简约美观的性格出来帮忙了，稍微一处理，将中间腾出来，只留一个小圆环刻度就足够了。
　　用这个量角，比前面的方式都简单，只要一靠，一数，角的度数就脱口而出。可没多久，人们发现麻烦又来了：每一个角都要数了以后才知道，角小还快，遇到大一点的就难办了。怎么办?在上面标上刻度的必然性便油然而生。这下终于可以一目了然了。兴奋之余，人们突然发现，生活中的角朝各个方向的都有，量的时候经常要转动量角器。这个小麻烦容易解决：在里圈再标上一圈刻度。量角器终于成熟了。
　　量角器产生的这个思维过程能令人信服，因为每次改进，都是由于遇到“弯路崎岖”，即现实需要，符合人类将复杂事情简单化，求精求简求美的思想。
　　第二个例子是初中的“三角形全等的判定”。人教版和湘教版等教材都是先定义全等三角形，然后把SAS、ASA、AAS、SSS一个一个列出来。中国的每一届学生对这几个定理都是烂熟于心，但好像从来没有人追问它们到底是如何产生的。它们出现的动因和过程是什么呢?为什么只有这四个判定定理呢?SSA、AAA不行吗?或者有没有更简单的判定呢?比如S、A、SA、AS，等等。
　　同样，SAS、ASA、AAS、SSS的来历或许已无从追究，一旦我们可以根据现实的需要设计一个合理的发展过程。
　　一位建筑承包商刚刚装配好两个巨大的三角架，这两个三角架用来支撑一个娱乐大厅的屋顶。在起重机把它们吊起放到屋顶位置之前，他想证明这两个三角架是 全等的。根据教材中的定义：1、全等三角形的对应边相等；2、全等三角形的对应角相等。这是不是意味着这位承包商一定要比较这两个三角形的所有六个部分呢?承包商认为一定有一个简捷的方法，只需要测量其中一些部分就可以了，但是要测量多少部分而且是哪几个部分呢?让我们看看，能不能帮他解答这个问题。
　　假使这个承包商只需度量每一个三角形的一条边并断定这两条边全等，就知道这两个三角形全等，这不是很好吗?换句话说，如果他知道一个三角形的一条边全等于另一个三角形的一条边，他能不能说明这两个三角形一定全等呢?很清楚，它们可能全等。但是它们一定全等吗?只要举一个反例就可以证明它们不一定全等，图1中两个三角形有一对全等的边，但这两个三角形显然是不全等的。这就意味着这位承包商必须测量多于一对的边。
　　要证明两个三角形中只有一对角全等，这两个三角形不一定全等，这是容易的。图2是有一对角全等的两个三角形。显然，这两个三角形彼此不全等。这又意味着这位承包商必须测量多于一对的角。
　　
　　如果两个不同的三角形有两对全等的部分(两对全等边，或者两对全等的角，或者一对全等的边和一对全等的角)，这两个三角形一定全等吗?同样，一些反例可以证明这样的两个三角形不一定全等，如图3、图4、图5所示。
　　因此，这位承包商如果能够有用来证明两个三角形全等的简捷方法的话，那么他至少要测量并比较每个三角形的三个部分。那么三角形的三个部分的组合是什么呢?他应该测量什么呢?
　　在两个三角形中，三对全等部分有六种不同的组合，图解如下：
　　
　　
　　接下来对三对部分的六种不同组合进行研究，看这六种组合会不会导出证明两个三角形全等的简便方法。在这个过程中，SAS、ASA、AAS、SSS将被一一发现，而SSA、AAA等将被一一否定。
　　这个知识的发展过程可信吗?非常可信，其思维过程正是人类遇到复杂问题时，从简单情况人手，一步一步走向复杂的目的的真实体现，也反映了人们追求简单、追求完美的天性。
　　其实，我们提倡给学生一个大致可信的、自然的知识生长过程，提倡数学返璞归真教育，是要教师活用教材，透过教材的表面去探寻数学知识的本源，捕捉数学知识的本质。于是，在2008年1月号的“卷首语”中，我们强调：“只有将所教内容的数学本质搞清楚了，才能居高临下地处理好教学内容，才能深入浅出地向学生传授知识。”设计一个大致可信的、自然的知识生长过程，无疑是一种很好的方式。
　　
　　(责任编辑　申建春)